题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V

的背包。每件物品只能使用一次。

第 i
件物品的体积是 vi，价值是 wi

。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

样例

输入格式

第一行两个整数，N，V

，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N
行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i

件物品的体积和价值。
输出格式

输出一个整数，表示最大价值。
数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

算法1

二维朴素算法

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
//n 物品个数
//m 背包容量
int n, m;
//v[]代表体积 
//w[]代表价值
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
    //背包容量和物品个数的录入
    cin >> n >> m;
    //每个物体的体积和价值的录入
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> v[i] >> w[i];
    //状态的初始化
    //若只取前零个，那么状态一定是0，f[0][0~m]=0
    //所以初始化从1开始
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 0;j <= m;j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i])   f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

        }

    cout << f[n][m] << endl;
}

算法2

一维优化

观察可知
1）每次更新f[i]时，只用到了f[i-1],不会用到之后的f[i]，所以对于i的更新只用一个滚动数组，直接覆盖掉即可
2）每次更新f[j]时，只用到了f[i-1]时的f[j]和f[j-v[i]],不会用到之后的f[j]，所以可把f[i]删掉，但是为了反正串改，需要倒着更新，即f[j]中的j初始化为m，然后递减，修改

时间复杂度

参考文献

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
//n 物品个数
//m 背包容量
int n, m;
//v[]代表体积 
//w[]代表价值
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
    //背包容量和物品个数的录入
    cin >> n >> m;
    //每个物体的体积和价值的录入
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> v[i] >> w[i];
    //状态的初始化
    //若只取前零个，那么状态一定是0，f[0][0~m]=0
    //所以初始化从1开始
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = m;j>= m;j--)
        {
             f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
             //上式等价于
             f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
             //所以不能直接删除[i]
        }

    cout << f[n][m] << endl;
}