算法分析

原问题可以转化为

求一个 $n$ 个点 $m$ 条边的带标号无向图有 $k$ 个连通块。我们希望添加 $k-1$ 条边使得整个图连通。求方案数。

假设每个连通块的点数为 $c_i$，那么答案就是 $\displaystyle n^{k-2}\prod_{i=1}^k c_i$ 。证明见 oi-wiki

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)

using namespace std;
using ll = long long;

int mod;
//const int mod = 998244353;
//const int mod = 1000000007;
struct mint {
    ll x;
    mint(ll x=0):x((x%mod+mod)%mod) {}
    mint operator-() const {
        return mint(-x);
    }
    mint& operator+=(const mint a) {
        if ((x += a.x) >= mod) x -= mod;
        return *this;
    }
    mint& operator-=(const mint a) {
        if ((x += mod-a.x) >= mod) x -= mod;
        return *this;
    }
    mint& operator*=(const mint a) {
        (x *= a.x) %= mod;
        return *this;
    }
    mint operator+(const mint a) const {
        return mint(*this) += a;
    }
    mint operator-(const mint a) const {
        return mint(*this) -= a;
    }
    mint operator*(const mint a) const {
        return mint(*this) *= a;
    }
    mint pow(ll t) const {
        if (!t) return 1;
        mint a = pow(t>>1);
        a *= a;
        if (t&1) a *= *this;
        return a;
    }

    // for prime mod
    mint inv() const {
        return pow(mod-2);
    }
    mint& operator/=(const mint a) {
        return *this *= a.inv();
    }
    mint operator/(const mint a) const {
        return mint(*this) /= a;
    }
};
istream& operator>>(istream& is, mint& a) {
    return is >> a.x;
}
ostream& operator<<(ostream& os, const mint& a) {
    return os << a.x;
}

struct UnionFind {
    vector<int> d;
    UnionFind(int n = 0): d(n, -1) {}
    int find(int x) {
        if (d[x] < 0) return x;
        return d[x] = find(d[x]);
    }
    bool unite(int x, int y) {
        x = find(x); y = find(y);
        if (x == y) return false;
        if (d[x] > d[y]) swap(x, y);
        d[x] += d[y];
        d[y] = x;
        return true;
    }
    bool same(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }
    int size(int x) {
        return -d[find(x)];
    }
};

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m >> mod;

    UnionFind uf(n);
    rep(i, m) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        --a; --b;
        uf.unite(a, b);
    }

    vector<int> c;
    rep(i, n) if (uf.find(i) == i) {
        c.push_back(uf.size(i));
    }
    int k = c.size();

    mint ans = 1;
    if (k > 1) {
        ans *= mint(n).pow(k-2);
        rep(i, k) ans *= c[i];
    }

    cout << ans << '\n';

    return 0;
}