题目描述

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中第一层有1个玻璃杯，第二层有2个，依次类推到第100层，每个玻璃杯(250ml)将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（i 和 j都从0开始）。

样例

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.0
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.5
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出。
位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

提示

• poured 的范围 [0, 10 ^ 9]。
• query_glass 和 query_row 的范围 [0, 99]。

算法

(递推) $O(n^2)$

1. 我们直接将 poured 的水到进第一个杯子，然后进行递推模拟。
2. $f(i, j)$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 个杯子有多少水。
3. 我们按行进行递推，如果 $f(i - 1, j) > 1$ 则 $f(i, j) = f(i, j) + \frac{f(i - 1, j) - 1}{2}$；如果 $j > 0$ 并且 $f(i - 1, j - 1) > 1$，则 $f(i, j) = f(i, j) + \frac{f(i - 1, j - 1) - 1}{2}$。
4. 最终答案为目标位置的 $f$ 值和 1.0 取最小值。

时间复杂度

• 最坏情况下遍历整个金字塔，故时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n^2)$ 的空间记录每个杯子的水量。

C++ 代码

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        vector<vector<double>> f(100, vector<double>(100, 0));
        f[0][0] = poured;
        for (int i = 1; i <= query_row; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j > 0 && f[i - 1][j - 1] > 1)
                    f[i][j] += (f[i - 1][j - 1] - 1) / 2;
                if (f[i - 1][j] > 1)
                    f[i][j] += (f[i - 1][j] - 1) / 2;
            }
        }

        return min(1.0, f[query_row][query_glass]);
    }
};