题目描述

我们有一些书 books，第 i 本书的厚度为 books[i][0]，高度为 books[i][1]。

我们想 按顺序 将这些书摆放到总宽度为 shelf_width 的书架上。

我们先选几本书放在书架上（它们的厚度之和小于等于书架的宽度 shelf_width），然后再建一层书架。重复这个过程，直到把所有的书都放在书架上。

需要注意的是，在上述过程的每个步骤中，摆放书的顺序与你整理好的顺序相同。 例如，如果这里有 5 本书，那么可能的一种摆放情况是：第一和第二本书放在第一层书架上，第三本书放在第二层书架上，第四和第五本书放在最后一层书架上。

每一层所摆放的书的最大高度就是这一层书架的层高，书架整体的高度为各层高之和。

以这种方式布置书架，返回书架整体可能的最小高度。

样例

输入：books = [[1,1],[2,3],[2,3],[1,1],[1,1],[1,1],[1,2]], shelf_width = 4
输出：6
解释：
3 层书架的高度和为 1 + 3 + 2 = 6。
第 2 本书不必放在第一层书架上。

限制

• 1 <= books.length <= 1000
• 1 <= books[i][0] <= shelf_width <= 1000
• 1 <= books[i][1] <= 1000

算法

(动态规划) $O(n^2)$

1. 状态 $f(i)$ 表示考虑了前 $i$ 本书时，所有书架的最小高度之和，我们假设书的下标从 1 开始。
2. 初始时 $f(0) = 0$，$f(1)$ 到 $f(n)$ 为正无穷。
3. 转移时，我们需要找到某个 $j$，对 [j + 1, i] 区间的书新建书架，在满足要求的情况下，使得 $f(i) = f(j) + maxheight(j + 1, i)$ 最小。我们可以倒序从 $i - 1$ 开始枚举 $j$，枚举过程中维护 [j + 1, i] 的总厚度和最大高度。如果枚举过程中总厚度超出了限制，则退出循环。
4. 最终答案为 $f(n)$。

时间复杂度

• 状态数为 $O(n)$，每次转移需要 $O(n)$ 的时间，故总时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

• 需要额外的空间记录状态，故空间复杂度为 $O(n)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int minHeightShelves(vector<vector<int>>& books, int shelf_width) {
        int n = books.size();
        const int MAX = 10000000;
        vector<int> f(n + 1, MAX);

        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int tot = 0, height = 0;
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                tot += books[j][0];
                height = max(height, books[j][1]);
                if (tot > shelf_width)
                    break;
                f[i] = min(f[i], f[j] + height);
            }
        }

        return f[n];
    }
};