题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

样例

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

二维

一、状态表示 (f[i][j])

集合：从前i件物品选取，且总体积<=j

属性：最大值Max

二、状态计算

当第i件物品装不下时，f[i][j] = f[i - 1][j] （该条件永远成立）

当第i件可以装下时，考虑f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i] (该条件需判断j - v[i]是否大于0)

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    //f[0][] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++) {
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
            if(j - v[i] >= 0) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << f[n][m] << '\n';
    return 0;
}

优化为一维

for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++) {
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
            if(j - v[i] >= 0) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

该段代码中i只用到了i - 1项，即i的前一项，若我们在每次循环求i时，只要i - 1项值无变化即可优化为一维。
所以在i未变化前，i - 1项的值不可更改，我们需将j从大到小遍历，即可保证在求f[j]的值时，f[j - v[i]]存储的值为f[i - 1][j - v[i]]的值

C++ 代码

 for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for(int j = m; j >= v[i]; j -- ) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }