题目描述
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意:你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
样例
输入:prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出:6
解释:在第 4 天(股票价格 = 0)的时候买入,在第 6 天(股票价格 = 3)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后,在第 7 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 8 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
输入:prices = [1,2,3,4,5]
输出:4
解释:在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
输入:prices = [1]
输出:0
算法1
动态规划 O(N)
状态定义
dp[i][j][k]
表示到第i天一共参加了j次交易,且当前处于交易k阶段时的最大利润
k = 0 表示当前手中持有股票 k = 1表示卖掉当前手中的股票
状态转移
设当前为第i天:
-
1.当前交易了0次,且当前处于第一次交易的买股票阶段:
比较第i天的股票价格和前一天处于第一次交易买股票阶段的价格大小dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0],-prices[i]);
-
2.当前交易了0次,且当前处于第一次交易的卖股票阶段:
可以选择不卖即之前的某一次交易更优; 或者选择在第i天卖,去max即可dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1],dp[i-1][1][0] + prices[i]);
-
3.第2次交易于第1次交易来说等价于第1次交易于0次,所以与上面的状态转移类似
时间复杂度
状态数4N, 状态转移O(1)
所以时间复杂度是O(N)
参考文献
C++ 代码
const int N = 1e5+100;
int dp[N][3][2];
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
//dp[i][j][k] 第i天参加第j次交易且当前: k=0 买入 k=1卖出 (j = 0,1,2)时可获取的最大利润
int n = prices.size();
memset(dp,0,sizeof dp);
dp[0][1][0] = -prices[0];
dp[1][2][0] = dp[1][2][1] = -N;
dp[0][0][0] = 0;
for(int i = 1; i<n; ++i){
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0],-prices[i]);
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1],dp[i-1][1][0] + prices[i]);
if(i == 1) continue;
dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0],dp[i-1][1][1] - prices[i]);
dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1],dp[i-1][2][0] + prices[i]);
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i<n; i++){
ans = max(dp[i][1][1],max(ans,dp[i][2][1]));
}
return ans;
}
};