最短路问题
单源最短路:从一个点到其他所有点的最短距离
- 所有边都是正权值
朴素Dijkstra算法O(N^2) ->适合稠密图,因为与边数无关
堆优化版的Dijkstra算法O(mlogn) ->适合稀疏图
- 存在负权边
Bellman-Frof O(mn)
SPFA O(m) ->一般情况下是O(m),最坏O(mn)。
多源汇最短路:源指的起点,汇指终点。
Floyd算法 O(n^3)
朴素版Dijkstra算法
设置一个s数组存放已经确定是最短路径的点
1. 初始化距离 dist[1]=0,dist[i]=+无穷//因为只有起点的距离可以确定为1
2. for loop n次:i从1->n
t<-找到不在s中的距离最近的点
s<-t
用t来更新其他所有点的距离
算法1
思路步骤就是
1.先对整个数组进行初始化,让所有的距离都为无穷这种操作。
2.因为题目说了有环路和有重边,所以我们每次只保留最小距离的边即可,因为求最短距离。
3.进入关键算法,因为是从单源开始所以不需要参数,起始点永远是1。
4.将距离矩阵初始化为无穷,从1开始遍历所有结点,在未确定(st[j]==false)的点中寻找距离最小的点,如果发现当前点比j的距离大那么就进行交换。当该点交换后或者本身就是最短距离点,那么就对st进行“改真”操作。
5.for loop一下整个dist数组,更新到最短的距离也就是比较直接到的最短距离与通过其余节点到达的最短距离大小,这也是为什么Dijkstra不是局部最优算法的原因。
C++ 代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int n,m;
int g[N][N];
int dist[N];//存放当前的最短距离
bool st[N];//看看当前最短路径是否已经确定
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1]=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!st[j]&&(t==-1||dist[t]>dist[j]))//在所有st[j]=false的点当中找到距离最小的点
t=j;
// if(t==n) break;
st[t]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)
dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g[a][b]=min(g[a][b],c);//只保留最短的那条边,因为ab之间可能有多条边
}
int t=dijkstra();
printf("%d\n",t);
return 0;
}