题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
分析
状态转移方程:
定义f[i][j]:前i个物品,背包容量j下的最优解
1)当前背包容量不够(j < v[i]),为前i-1个物品最优解:f[i][j] = f[i-1][j]
2)当前背包容量够,判断选与不选第i个物品
选:f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]
不选:f[i][j] = f[i-1][j]
C++ 代码
#include<iostream>
using namespace std;
int v[10010],w[10010],f[10010][10010];
int main()
{
int N,V;cin>>N>>V; //N个物品 背包容积V
for(int i=1;i<=N;i++)
cin>>v[i]>>w[i]; //物品体积 价值
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=1;j<=V;j++)
{
if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j]; //当前重量装不进,价值等于前i-1个物品
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); //当前重量装得进,进一步判断
}
cout<<f[N][V];
return 0;
}
#include<iostream>
using namespace std;
int v[10010],w[10010],f[10010];
int main()
{
int N,V;cin>>N>>V; //N个物品 背包容积V
for(int i=1;i<=N;i++)
cin>>v[i]>>w[i]; //物品体积 价值
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=V;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[V];
}
完全背包
#include<iostream>
using namespace std;
int v[10010],w[10010],f[10010];
int main()
{
int N,V;cin>>N>>V;
for(int i=1;i<=N;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=v[i];j<=V;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[V];
}