基础算法复习:归并排序的应用—求逆序对数量
题目描述
给定一个长度为n的整数数列,请你计算数列中的逆序对的数量。
逆序对的定义如下:对于数列的第 i 个和第 j 个元素,如果满足 i < j 且 a[i] > a[j],则其为一个逆序对;否则不是。
输入格式
第一行包含整数n,表示数列的长度。
第二行包含 n 个整数,表示整个数列。
输出格式
输出一个整数,表示逆序对的个数。
数据范围
1≤n≤100000
样例
输入样例:
6
2 3 4 5 6 1
输出样例:
5
注意
首先这题有几个需要注意的地方。n最大是100000,考虑最坏的情况,是一个完全逆序的排列,那么结果大约会是n^2/2,也就是最大会是5*1e9,会爆int,因此结果需要用long long来存。第二个是看到这题可能一下就想到了bubble_sort,然而bubble_sort是O(n^2),这样是会TLE的.
算法
为了要求逆序对的数量,我们先考虑逆序对的分布情况,以中点为分界,分别有三种情况,都在左边,都在右边,一左一右。如下图。
这样的情形,结合我们之前的在排序中顺便求出逆序对的想法,可以想到(其实也不知道为什么会想到)用归并排序顺便求出逆序对数量。整个排列的逆序数就等于左边的逆序数+右边的逆序数加上分于两侧的逆序对的数量。左边的逆序数和右边的逆序数根据递归容易表示,下面我们来计算分布于两侧的逆序对的数量。在最后归并时,每次都是把最小的归入临时数组,因此,每当把第二个(右半)数组的一个数归入临时数组时,说明它比现在还在第一个(左半)数组中还没使用的数要小,但是排在它们右边,因此跟剩下的那些数都构成逆序对,假设左半还剩s个数,逆序数就应该加上s。
时间复杂度
O(nlogn)
参考文献
acwing 算法基础课
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=100010;
int q[N],temp[N];
long long merge_sort(int l,int r){
if(l>=r) return 0;
int mid=l+r>>1;
long long res=merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);
int k=0,i=l,j=mid+1;
while(i<=mid&&j<=r){
if(q[i]<=q[j]) temp[k++]=q[i++];
else{
temp[k++]=q[j++];
res+=mid-i+1;
}
}
while(i<=mid) temp[k++]=q[i++];
while(j<=r) temp[k++]=q[j++];
for(int i=0,j=l;j<=r;i++,j++)q[j]=temp[i];
return res;
}
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&q[i]);
cout<<merge_sort(0,n-1)<<endl;
return 0;
}