题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N行,每行两个整数vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
样例
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
闫氏dp法:
01背包问题,每个物品只能用一次
·状态表示f[i][j]: 表示所有选法的集合的最大值,集合包括只从前i个物品中选,并且所选的物品的体积和不大于j的选法。
·状态转移方程: f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]),集合f[i][j]总共分为两种情况,一种选第二个物品,另外一种是不选第i个物品
·不选第i个物品: f[i][j]=f[i-1][j] 从前i个物品中选,并且所选的物品的体积和不大于j,相当于从前i-1个物品中选,并且所选的物品的体积和不大于j
·选第i个物品: f[i-1][j-v[i]]+w[i],直接求从前i个物品中选,并且所选的物品的体积和不大于j的选法的集合不好求,我们先去除第i个物品,最后再加上第i个物品的价值,先求从前i-1个物品中选,并且所选的物品的体积和不大于j-v[i]的选法的集合的最大值f[i-1][j-v[i]],最后再加上w[i]。(v[i]是第i个物品的体积,w[i]是第i个物品的价值)
注意:当j<v[i]时,选第i个物品的选法不成立
集合如何划分:
1.不重复,不遗漏(不重复有时候不一定满足,求个数时一定要满足)
2.如何将现有的集合划分为最小的子集,使得所有子集都可以计算出来
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int f[1005][1005];
int v[1005],w[1005];
int main(int argc, char** argv) {
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i]){ //当j<v[i]时,选第i个物品的选法不成立
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
优化:就是对状态方程或者代码的等价变形。先把基本形式写出来再想优化的事。
时间上是优化不了了,只能从空间优化了。
如果只用到上一层,那就坐标从大到小遍历,如果只用到下一层,那就坐标从小到大遍历,
·原因是:从大到小:算f[i][j]时,要用到f[i-1][j-v[i]]+w[i],从大到小我们是为了保证算f[j]时用到的f[j-v[i]]是f[i-1][j-v[i]],而不是f[i][j-v[i]],如果从小到大的循环,那么在遍历到第i个物品时,f[j-v[i]]会在算f[j]前被算出来,那么它就该是f[i][j-v[i]]了,这不是我们想要的结果。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int f[1005];
int v[1005],w[1005];
int main(int argc, char** argv) {
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=0;j--){ //与优化之前相比,此处倒着来遍历的
f[j]=f[j];//可省略
if(j>=v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
再次优化代码:
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int f[1005];
int v[1005],w[1005];
int main(int argc, char** argv) {
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=v[i];j--){
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}