题目描述
- 题目介绍
有 NN 件物品和一个容量为 VV 的背包,每件物品有各自的价值,要求在有限的背包容量下,装入的物品总价值最大。
「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题,也是其余背包问题的基础。
动态规划是不断决策求最优解的过程,「0-1 背包」即是不断对第 ii 个物品的做出决策,「0-1」正好代表不选与选两种决定。
样例
2. 题解代码(C++)
2.1 版本1 二维
(1)状态f[i][j]定义:前 ii 个物品,背包容量 jj 下的最优解(最大价值):
当前的状态依赖于之前的状态,可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策,有 NN 件物品,则需要 NN 次决 策,每一次对第 ii 件物品的决策,状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。
(2)当前背包容量不够(j < v[i]),没得选,因此前 ii 个物品最优解即为前 i−1i−1 个物品最优解:
对应代码:f[i][j] = f[i - 1][j]。
(3)当前背包容量够,可以选,因此需要决策选与不选第 ii 个物品:
选:f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选:f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值,因此以上两种情况取 max()
算法1
(暴力枚举) $O(n^2)$
blablabla
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 体积
int w[MAXN]; // 价值
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
// 当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
if(j < v[i])
f[i][j] = f[i - 1][j];
// 能装,需进行决策是否选择第i个物品
else
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
算法2
(暴力枚举) $O(n^2)$
blablabla
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int f[MAXN]; //
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w; // 边输入边处理
for(int j = m; j >= v; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
// for(int j = m; j >= 0; j--)
// if(j >= v[i])
// f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}