状态压缩$DP$问题
$f[i][j] $
$i$ 表示当前的状态,就是用二进制表示的数上第$N$位为 $0$ 或 $1$,就表示是否走过第$N$个节点
$j$ 表示当前路径的最后一个节点
$DP$问题分类 : 分为当前路径倒数第二个节点是哪一个节点,一一枚举
题目描述
给定一张 $n$ 个点的带权无向图,点从$ 0~n-1 $标号,求起点 $0$ 到终点 $n-1 $的最短$Hamilton$路径。
$Hamilton$路径的定义是从 $0$ 到 $n-1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入格式
第一行输入整数$n$。
接下来$n$行每行$n$个整数,其中第$i$行第$j$个整数表示点$i$到$j$的距离(记为$a[i,j]$)。
对于任意的$x,y,z$,数据保证 $a[x,x]=0$,$a[x,y]=a[y,x]$ 并且 $a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]$。
输出格式
输出一个整数,表示最短$Hamilton$路径的长度。
数据范围
$1≤n≤20$
$0≤a[i,j]≤107$
样例
输入样例:
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例:
18
AC 代码
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 20,M = 1 << N;
int w[N][N];
int f[M][N],n;
int main()
{
cin >>n;
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
cin >>w[i][j];
memset(f , 0x3f , sizeof f); // 把距离都初始化成正无穷
f[1][0] = 0; // 1代表只经过了0号节点,0代表此时在0号节点
for (int i = 0; i < 1 << n; i++) // 枚举每一个状态
for (int j = 0; j < n; j++)
if (i >> j & 1) // 如果j已经走过
for (int k = 0; k < n; k++) // 再枚举倒数第二个节点
if ( (i - (1 << j)) >> k & 1 ) // 判断 除了j号节点,当前枚举的i的状态上 k号节点是否走过
f[i][j] = min(f[i][j] , f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);
cout << f[(1 << n) - 1][n - 1]; // (1 << n) - 1 用二进制上表示就是n - 1上全是1,就是全部节点都走过
return 0;
}
dongllllllll