题目描述
给定一个n个点m条边的有向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
再给定k个询问,每个询问包含两个整数x和y,表示查询从点x到点y的最短距离,如果路径不存在,则输出“impossible”。
数据保证图中不存在负权回路。
输入格式
第一行包含三个整数n,m,k
接下来m行,每行包含三个整数x,y,z,表示存在一条从点x到点y的有向边,边长为z。
接下来k行,每行包含两个整数x,y,表示询问点x到点y的最短距离。
输出格式
共k行,每行输出一个整数,表示询问的结果,若询问两点间不存在路径,则输出“impossible”。
数据范围
1≤n≤200,
1≤k≤n2
1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。
输入样例:
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例:
impossible
1
思路
Floyd 属于多源最短路径算法,能够求出任意2个顶点之间的最短路径,支持负权边
时间复杂度:O(n3),效率比执行 n次 Dijkstra 算法要好( n是顶点数量)
算法原理
解释一
从任意顶点 i 到任意顶点 j 的最短路径不外乎两种可能
① 直接从 i 到 j
② 从 i 经过若干个顶点到 j
假设 dist(i,j) 为顶点 i 到顶点 j 的最短路径的距离
对于每一个顶点 k,检查 dist(i,k) + dist(k,j)<dist(i,j) 是否成立
如果成立,证明从 i 到 k 再到 j 的路径比 i 直接到 j 的路径短,设置 dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)
当我们遍历完所有结点 k,dist(i,j) 中记录的便是 i 到 j 的最短路径的距离
解释二
解题思路,动态规划的思想
该解题思路抄自 https://www.acwing.com/solution/content/20441/
假设节点序号是从1到n。
假设f[0][i][j]是一个n*n的矩阵,第i行第j列代表从i到j的权值,如果i到j有边,那么其值就为ci,j(边ij的权值)。
如果没有边,那么其值就为无穷大。
f[k][i][j]代表(k的取值范围是从1到n),在考虑了从1到k的节点作为中间经过的节点时,从i到j的最短路径的长度。
比如,f[1][i][j]就代表了,在考虑了1节点作为中间经过的节点时,从i到j的最短路径的长度。
分析可知,f[1][i][j]的值无非就是两种情况,而现在需要分析的路径也无非两种情况,i=>j,i=>1=>j:
【1】f[0][i][j]:i=>j这种路径的长度,小于,i=>1=>j这种路径的长度
【2】f[0][i][1]+f[0][1][j]:i=>1=>j这种路径的长度,小于,i=>j这种路径的长度
形式化说明如下:
f[k][i][j]可以从两种情况转移而来:
【1】从f[k−1][i][j]转移而来,表示i到j的最短路径不经过k这个节点
【2】从f[k−1][i][k]+f[k−1][k][j]转移而来,表示i到j的最短路径经过k这个节点
总结就是:f[k][i][j]=min(f[k−1][i][j],f[k−1][i][k]+f[k−1][k][j])
从总结上来看,发现f[k]只可能与f[k−1]有关。
核心代码
```
for(int k = 1; k <= n; k ++){
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 1; j <= n; j ++){
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
}
}
```
java
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 210, INF = (int)1e9;
static int n, m, q;
static int[][] d = new int[N][N];
private static void floyd() {
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
d[i][j] = Math.min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
q = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (i == j) d[i][j] = 0; // 自环为0
else d[i][j] = INF;
}
}
while (m -- > 0) {
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
int c = sc.nextInt();
d[a][b] = Math.min(d[a][b], c);
}
floyd();
while (q -- > 0) {
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
if (d[a][b] > INF / 2) System.out.println("impossible");
else System.out.println(d[a][b]);
}
}
}
c++
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, q;
int d[N][N];
void floyd(){
for(int k = 1; k <= n; k ++){
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 1; j <= n; j ++){
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
}
}
while(m --){
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
d[a][b] = min(d[a][b], w);
}
floyd();
while(q --){
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
if(d[a][b] > INF / 2) puts("impossible");
else printf("%d\n", d[a][b]);
}
return 0;
}
解释一我给你101分🥰
解释一 我给你102分!
点的数量很多,比如1e6大小可以用吗?