题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤107

样例

输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

题解

状态压缩DP

    公式： dp[i][j] = min{dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + map[k][j]}
    或     dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i^(1<<j)][k]+map[k][j]);
        （注：map 是k到j的权值）

    后面的遍历基本与floyd算法一致：
   floyd模板：
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

时间复杂度分析：log(n^3)

C++ 代码

#include <iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
int n,f[1<<20][21],i,j,k;
int weight[21][21];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    cin>>n;
    for (i=0; i<n; i++)
        for (j=0; j<n; j++)
            cin>>weight[i][j];
    f[1][0]=0;
    for (i=1; i<(1<<n); i++)
        for (j=0; j<n; j++)
            if ((i>>j & 1))
                for (k=0; k<n; k++)
                    if ((i^(1<<j)) >> k & 1)
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]);
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
    return 0;
}