什么是前缀和 ?
原数组: a[1], a[2], a[3], a[4], a[5], …, a[n]
前缀和 S[i]为数组的前i项和
前缀和: S[i] = a[1] + a[2] + a[3] + … + a[i]
s[0] = 0
s[1] = a[1]
s[2] = a[1] + a[2]
s[i] = a[1] + a[2] + a[3] +……+ a[i]
s[i] = s[i-1] + a[i]
注意: 原数组的下标一定要从 1开始, 避免进行下标的转换
前缀和的作用
快速求出元素组中某段区间的和
一维数组前缀和
利用S[i]=S[i-1]+a[i]
看代码
private static void f(int[] a) {
for(int i = 1; i <= a.length; i++) {
a[i] += a[i - 1];
}
}
例题:
输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问,每个询问输入一对l, r。
对于每个询问,输出原序列中从第l个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数,表示整数数列。
接下来m行,每行包含两个整数l和r,表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行,每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000
输入样例:
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例:
3
6
10
代码:
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 100010;
static int[] f = new int[N];
static int n, m;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
for(int i = 1; i <= n; i++){
f[i] = sc.nextInt();
f[i] += f[i - 1];
}
while(m -- != 0){
int x = sc.nextInt();
int y = sc.nextInt();
System.out.println(f[y] - f[x - 1]);
}
}
}
二维前缀和
如上图,如果我们求(3,3)的前缀和,那么就要加上(3,2)和 (2.3)的前缀和,并且加上自身的值,也就是
f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
但是我们可以看到图中绿色区域有一部分重叠了,多加了一次重叠部分的值,所以我们要再减去重叠的值,就是f[]i - 1[j - 1]
f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
例题:
输入一个n行m列的整数矩阵,再输入q个询问,每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数n,m,q。
接下来n行,每行包含m个整数,表示整数矩阵。
接下来q行,每行包含四个整数x1, y1, x2, y2,表示一组询问。
输出格式
共q行,每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例:
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例:
17
27
21
代码:
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int N = 1010;
static int[][] f = new int[N][N];
static int n, m, q;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
m = sc.nextInt();
q = sc.nextInt();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
f[i][j] = sc.nextInt();
f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
}
}
// for (int i = 1; i <= n; i++) {
// for (int j = 1; j <= m; j++) {
// t[i][j] = f[i][j] + t[i - 1][j] + t[i][j - 1] - t[i - 1][j - 1];
// }
// }
for(int i = 0; i < q; i++){
int x1 = sc.nextInt();
int y1 = sc.nextInt();
int x2 = sc.nextInt();
int y2 = sc.nextInt();
System.out.println(f[x2][y2] - f[x2][y1 - 1] - f[x1 - 1][y2] + f[x1 - 1][y1 - 1]);
}
}
}