算法

(树的深度优先遍历,DFS,基环树) $O(N^2)$

如果是一棵树，则我们一定从1号点开始遍历，每次按编号从小到大的顺序遍历所有子节点，得到的DFS序列的字典序最小。

这道题目给定的树还有可能是基环树，即树中有一个环。
此时可以发现：不论如何遍历，我们一定只会遍历其中 $n-1$ 条边，因此可以枚举删掉哪条边，然后再用在树中遍历的方式求出最小字典序即可。

对每个点的所有邻边排序可以在初始化时进行，不需要在每次枚举时都重新排序。

我们不需要先将环找出来，直接暴力枚举所有边，最终更新答案时判断一下树是否连通即可。

另外还有一个优化的效果很明显：

• 在DFS过程中维护当前序列和最优序列的大小关系，如果发现当前序列的字典序一定大于最优序列，则可以直接退出。

时间复杂度

最坏情况下会枚举删除 $N$ 条边，每次枚举之后DFS需要 $O(N)$ 的时间，因此总时间复杂度是 $O(N^2)$。

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 5010;

int n, m;
vector<int> e[N];
PII edge[N];
int del_u, del_v;
vector<int> ans(N, N);
vector<int> path(N);
bool st[N];
int cnt, state;

bool dfs(int u)
{
    if (!state)
    {
        if (u > ans[cnt]) return true;
        if (u < ans[cnt]) state = -1;
    }

    st[u] = true;
    path[cnt ++ ] = u;

    for (int i = 0; i < e[u].size(); i ++ )
    {
        int x = e[u][i];
        if (!(x == del_u && u == del_v) && !(x == del_v && u == del_u) && !st[x])
            if (dfs(x)) return true;
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        e[a].push_back(b);
        e[b].push_back(a);
        edge[i] = {a, b};
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) sort(e[i].begin(), e[i].end());
    if (n == m)
    {
        for (int i = 0; i < m; i ++ )
        {
            del_u = edge[i].first, del_v = edge[i].second;

            memset(st, false, sizeof st);
            cnt = state = 0;
            dfs(1);
            if (cnt == n) ans = path;
        }
    }
    else
    {
        dfs(1);
        if (cnt == n) ans = path;
    }
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%d ", ans[i]);

    return 0;
}