题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 $<$ N $\leq$ 1000
0 $<$ V $\leq$ 2000
0 $<$ $v_i$, $w_i$, $s_i$ $\leq$ 1000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

样例

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

二进制法优化

该题每种物品有$s_i$种，而非无限种（不同于完全背包），不可用完全背包的优化方式（具体证明见y总视频 算法基础课完全背包的优化 ）

由于0~$s_i$中，均可用$2^0$，$2^1$，$2^2$，$\cdots$，$2^k$,$s_i$-$2^k$来组成。
故我们将每种物品用二进制优化为多个01背包，每个01背包里捆绑着不同个数的该种物品，我们只需选或不选即可。
由小及大，这n种物品即可捆绑成一个数量更多的01背包。

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 10000;
int v[N], w[N];
int f[N];
int cnt;
int n, m;

int main() {
    cin >> n >> m;
    //优化为01背包，每个背包选或不选
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        int k = 1;
        while(k < c) {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = k * a;
            w[cnt] = k * b;
            c -= k;
            k *= 2;
        }
        if(c > 0) {
            cnt ++ ;
            v[cnt] = c * a;
            w[cnt] = c * b;
        }
    }

    n = cnt;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for(int j = m; j >= v[i]; j -- ) 
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << '\n';

    return 0;
}