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题目描述

将一个按照升序排列的有序数组，转换为一棵高度平衡二叉搜索树。

本题中，一个高度平衡二叉树是指一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。

示例:

给定有序数组: [-10,-3,0,5,9],

一个可能的答案是：[0,-3,9,-10,null,5]，它可以表示下面这个高度平衡二叉搜索树：

      0
     / \
   -3   9
   /   /
 -10  5

题解：

一个直观的贪心策略：取区间 [l, r] 的中点 mid 作为根节点的值，然后递归建左右子树。

下面我们来证明上述的构造方法得到的 BST 满足任意节点的左右子树的所有高度的差不大于1。

假设在每一次递归过程中，左半部分的长度最多比右半部分长度少 1 ，那么需要判断会不会出现下面这种情况：

• 左半部分子树高度为 m - 1 ，右半部分子树高度为 m + 1

如果左半部分子树高度为 m - 1 ，那么左子树节点个数最多为 $2^m - 2$ 个；如果右半部分子树高度为 m + 1 ，那么右子树节点个数最少为 $2^m$ 。两边差值最少为 2 ，所以不可能出现上述情况，即该方法构造的 BST 是平衡的。

时间复杂度：$O(n)$

额外空间复杂度：$O(logn)$

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    void build( TreeNode*& root, int l, int r, vector<int>& nums ) {
        if ( l > r ) return;
        int mid = (l + r) >> 1;
        root = new TreeNode( nums[mid] );
        build( root->left, l, mid - 1, nums );
        build( root->right, mid + 1, r, nums );
    }
    TreeNode* sortedArrayToBST(vector<int>& nums) {
        TreeNode *root = nullptr;
        build( root, 0, nums.size() - 1, nums );
        return root;
    }
};
/*
时间：16ms，击败：97.60%
内存：22.4MB，击败：97.80%
*/