直接递归 （超时）

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7;

int v[N], w[N];
int f[N][N];

int dp(int i, int j) {
    if (j < 0) return -0x3f3f3f3f;
    else if (i == 0 || j == 0) return 0;
    return max(dp(i - 1, j - v[i]) + w[i], dp(i - 1, j));
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    cout << dp(n, m) << endl;

    return 0;
}

动态规划的循环实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7;

int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    // 状态表示f[i][j]: 只使用前i个物品，体积不超过j的最大价值
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= m ;j ++) {
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;

    // 动态规划的循环实现会把所有的状态都计算好
    // for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    //     for (int j = 1; j <= n; j ++) {
    //         cout << f[i][j] << " ";
    //     }
    //     cout << endl;
    // }
    // 
    // 2 2 2 2 
    // 2 4 6 6 
    // 2 4 6 6 
    // 2 4 6 6 

    return 0;
}

动态规划的递归实现 记忆化搜索

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7;

int v[N], w[N];
int f[N][N];

int dp(int i, int j) {
    int &t = f[i][j];
    if (t != -1) return t;

    t = 0;
    if (i >= 1) t = max(t, dp(i - 1, j));
    if (i >= 1 && j >= v[i]) t = max(t, dp(i - 1, j - v[i]) + w[i]);
    return t;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    memset(f, -1, sizeof f);


    cout << dp(n, m) << endl;
    // 动态规划的记忆化搜索只会当前搜到过的状态计算好
    // for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    //     for (int j = 1; j <= n; j ++) {
    //         cout << f[i][j] << " ";
    //     }
    //     cout << endl;
    // }
    // 
    // 2 2 2 -1 
    // 2 4 -1 -1 
    // 2 -1 -1 -1 
    // -1 -1 -1 -1 

    return 0;
}

01背包问题 空间上二维可以优化成一维

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N], w[N], f[N];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= v[i]; j--) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
            // 朴素：f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])
        }
    }

    cout << f[m] << endl;

}