题目描述

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0$<$N,V$\leq$100
0$<$$s_i$$\leq$100
0$<$$v_{ij},w_{ij}\leq$100

样例

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

二维

一、状态表示f[i][j]

集合：从前i组里选，且体积小于等于j

属性：最大值Max

二、状态计算

当第i组一件也装不下时，f[i][j] = f[i - 1][j]

可以装下时，f[i][j] = f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k](条件为v[i][k] <= j)

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++ ) {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++ ) {
                if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }

    cout << f[n][m] << '\n';

    return 0;
}

优化为一维

for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for(int j = 0; j <= m; j ++ ) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++ ) {
                if(j >= v[i][k]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }

类似于01背包的优化，由于要比较f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]，故j应从大到小来循环。
具体见 01背包优化

C++ 代码

for(int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        for(int j = m; j >= 0; j -- ) {
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++ ) {
                if(j >= v[i][k]) f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
            }
        }
    }