分析

每次输入a,b,c,k
询问a是否能通过+c得到b(k循环条件下)
$$ a+cx\equiv b \bmod 2^{k} $$
上式等价于：
$$ cx-2^{k}y=b-a $$ 令z=2^{k}得到：
$$ cx-zy=b-a $$

因为要求 x,y 两个未知量 因此使用扩展欧几里得算法exgcd(c,z,x,y)
求出d:$$d=exgcd(c,z,x,y)(d为(c,z)最大公约数)$$
(b-a)如果不为d的倍数，说明不存在这样一个解，输出”FOREVER”
(b-a)为d的倍数的话，要把x,y扩大相应倍数：
$$ x=x\cdot \frac{b-a}{d},y=y\cdot \frac{b-a}{d} $$

此时要求出解x，x等价于：$$ x=x_{0}+k\frac{z}{d} $$
最小的x等价于求x的正余数：(x%z + z) % z

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,c,k;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    while(cin>>a>>b>>c>>k,a||b||c||k)
    {
        LL x,y;
        LL z=(1ll<<k);
        LL d=exgcd(c,z,x,y);
        cout<<(b-a)<<" "<<d<<endl;
        if((b-a)%d) puts("FOREVER");    //(b-a)不是d的倍数，直接退出
        else{
            x*=(b-a)/d;
            y*=(b-a)/d;
            z/=d;
            cout<<(x%z+z)%z<<endl;      //求最小正余数
        }
    }
    return 0;
}