题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围

$1 \leq n \leq 20$
$0 \leq a[i, j] \leq 10^7 $

样例

输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0

输出样例：

18

状态压缩dp

状态表示f[i][j]

集合：从0走到j中，经过的点用i（二进制）来表示的集合

属性：距离最小值Min

状态计算

以倒数第二个点是哪个，走到j这个点，取最小值

f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N = 21, M = 1 << N;
int f[M][N];
int w[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++ )
        for(int j = 0; j < n; j ++ ) 
            cin >> w[i][j];

    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[1][0] = 0;//初始化，只经过第0个点，到达第0个点的距离为0

    for(int i = 0; i < (1 << n); i ++ ) //遍历每个点是否走过
        for(int j = 0; j < n; j ++ ) //遍历最后到达哪个点
            if(i >> j & 1) //判断第j个点是否走过，没有走过肯定不可以到达这个点
                for(int k = 0; k < n; k ++ ) //遍历最后一个点是从哪个点走过去的
                    if((i - (1 << j)) >> k & 1) //判断倒数第二个点是否走过
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + w[k][j]);

    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << '\n';//1 << n - 1 恰好为n个1，表示0~n - 1这些点均走过

    return 0;
}