题目描述

给你一个整数数组 nums，其中 nums[i] 表示第 i 个袋子里球的数目。同时给你一个整数 maxOperations。

你可以进行如下操作至多 maxOperations 次：

• 选择任意一个袋子，并将袋子里的球分到 2 个新的袋子中，每个袋子里都有 正整数 个球。
  • 比方说，一个袋子里有 5 个球，你可以把它们分到两个新袋子里，分别有 1 个和 4 个球，或者分别有 2 个和 3 个球。

你的开销是单个袋子里球数目的 最大值，你想要 最小化 开销。

请你返回进行上述操作后的最小开销。

样例

输入：nums = [9], maxOperations = 2
输出：3
解释：
- 将装有 9 个球的袋子分成装有 6 个和 3 个球的袋子。[9] -> [6,3]。
- 将装有 6 个球的袋子分成装有 3 个和 3 个球的袋子。[6,3] -> [3,3,3]。
装有最多球的袋子里装有 3 个球，所以开销为 3 并返回 3。

输入：nums = [2,4,8,2], maxOperations = 4
输出：2
解释：
- 将装有 8 个球的袋子分成装有 4 个和 4 个球的袋子。[2,4,8,2] -> [2,4,4,4,2]。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,4,4,4,2] -> [2,2,2,4,4,2]。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,4,4,2] -> [2,2,2,2,2,4,2]。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,2,2,4,2] -> [2,2,2,2,2,2,2,2]。
装有最多球的袋子里装有 2 个球，所以开销为 2 并返回 2。

输入：nums = [7,17], maxOperations = 2
输出：7

限制

• 1 <= nums.length <= 10^5
• 1 <= maxOperations, nums[i] <= 10^9

算法

(二分答案) $O(n \log M)$

1. 求最大值最小的问题，可以采用二分答案的方式，将原问题转化为判定为问题，然后根据答案的单调性找到最优解。
2. 二分开销的最大值。对于开销为 $mid$ 时，通过公式 $(x - 1) / mid$ 下取整来计算 $x$ 个球的袋子需要分解的次数。

时间复杂度

• 设 $M$ 为答案的可能的最大值，每次判定只需要 $O(n)$ 的时间，故总时间复杂度为 $O(n \log M)$。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

#define LL long long

class Solution {
private:
    bool check(const vector<int> &nums, int mid, int maxOperations) {
        LL cnt = 0;
        for (int x : nums) {
            if (x <= mid) continue;
            cnt += (x - 1) / mid;
            if (cnt > maxOperations)
                return false;
        }
        return true;
    }

public:
    int minimumSize(vector<int>& nums, int maxOperations) {
        int l = 1, r = 1000000000;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (check(nums, mid, maxOperations)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
};