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题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200

• triangle[0].length == 1

• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1

• $-10^4 \le triangle[i][j] \le 10^4$

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

题解：

动态规划。

法一：

自顶向下。

设 f[i][j] 表示从 (1,1) 走到 (i,j) 的最小路径和，则转移方程为 f[i][j] = min( f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j]) + triangle[i][j]。

时间复杂度：$O(n^2)$

额外空间复杂度：$O(n)$

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<vector<int>> f( n );
        f[0] = vector<int>{triangle[0][0]};
        for ( int i = 1; i < n; ++i ) {
            f[i].resize( i + 1 );
            f[i][0] = triangle[i][0] + f[i - 1][0];
            f[i][i] = triangle[i][i] + f[i - 1][i - 1];
            for ( int j = 1; j < i; ++j )
                f[i][j] = min( f[i - 1][j - 1], f[i - 1][j] ) + triangle[i][j];
        }
        int min_val = f[n - 1][0];
        for ( int j = 1; j < n; ++j ) min_val = min( min_val, f[n - 1][j] );
        return min_val;
        // return *min_element( f[n - 1].begin(), f[n - 1].end() );
    }
};
/*
时间：4ms，击败：97.98%
内存：8.3MB，击败：81.28%
*/

可以发现，f[i][j] 只跟 f[i - 1][j - 1] 和 f[i - 1][j] 有关，可以使用滚动数组优化：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> f;
        f.emplace_back( triangle[0][0] );
        int pre, tmp;
        for ( int i = 1; i < n; ++i ) {
            f.emplace_back( f[i - 1] );
            pre = f[0];
            f[0] += triangle[i][0];
            f[i] += triangle[i][i];
            for ( int j = 1; j < i; ++j ) {
                tmp = f[j];
                f[j] = min( f[j], pre ) + triangle[i][j];
                pre = tmp;
            }
        }
        int min_val = f[0];
        for ( int j = 1; j < n; ++j ) min_val = min( min_val, f[j] );
        return min_val;
    }
};
/*
时间：4ms，击败：97.98%
内存：8.2MB，击败：91.44%
*/

法二：

自底向上。

设 f[i][j] 表示从底层走到 (i,j) 的最小路径和，则转移方程为 f[i][j] = min( f[i + 1][j + 1], f[i + 1][j]) + triangle[i][j]。

时间复杂度：$O(n^2)$

额外空间复杂度：$O(n)$

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<vector<int>> f( n );
        f[n - 1] = triangle[n - 1];
        for ( int i = n - 2; i >= 0; --i ) {
            f[i].resize( i + 1 );
            for ( int j = 0; j <= i; ++j )
                f[i][j] = min( f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1] ) + triangle[i][j];
        }
        return f[0][0];
    }
};
/*
时间：4ms，击败：97.98%
内存：8.4MB，击败：77.57%
*/

可以使用滚动数组优化：

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();
        vector<int> f = triangle[n - 1];
        for ( int i = n - 2; i >= 0; --i ) {
            for ( int j = 0; j <= i; ++j )
                f[j] = min( f[j], f[j + 1] ) + triangle[i][j];
        }
        return f[0];
    }
};
/*
时间：4ms，击败：97.98%
内存：8.1MB，击败：93.82%
*/