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题目描述
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
- $1 \le prices.length \le 10^5$
- $0 \le prices[i] \le 10^5$
题解：
法一：
动态规划。
假设是两次交易，那么肯定是以某一天为分界线，在该天及以前中的某天进行第一次交易，再该天及以后中的某天进行第二次交易，假设为第 i 天。那么就回到 买卖股票的最佳时机 这题上来了，使用两个数组 left 和 right ，left[i] 表示前面买入，第 i 天卖出的最大利润，right[i] 表示第 i 天买入，后面卖出的最大利润。两次交易的最大利润就是 left[i] + right[i] 的最大值。
时间复杂度：$O(n)$
额外空间复杂度：$O(n)$
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<int> left( n );
vector<int> right( n );
for ( int i = 1, buy = prices[0]; i < n; ++i ) {
left[i] = max( left[i - 1], prices[i] - buy );
buy = min( prices[i], buy );
}
int ret = 0;
for ( int i = n - 2, sale = prices[n - 1]; i >= 0; --i ) {
right[i] = max( right[i + 1], sale - prices[i] );
sale = max( sale, prices[i] );
ret = max( ret, left[i] + right[i] );
}
return ret;
}
};
/*
时间：144ms，击败：97.22%
内存：79.6MB，击败：31.09%
*/
可以只用一个数组：
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
vector<int> f( n );
for ( int i = 1, buy = prices[0]; i < n; ++i ) {
f[i] = max( f[i - 1], prices[i] - buy );
buy = min( buy, prices[i] );
}
int ret = f[n - 1];
for ( int i = n - 2, sale = prices[n - 1]; i >= 0; --i ) {
if ( sale > prices[i] ) ret = max( ret, sale - prices[i] + f[i] );
else sale = prices[i];
}
return ret;
}
};
/*
时间：140ms，击败：98.02%
内存：76.4MB，击败：41.31%
*/
法二：
从第一个交易日到第 i 个交易日，一共有 五种状态 ：
- 一直不买
- 买入一次
- 买入一次，卖出一次
- 买入两次，卖出一次
- 买入两次，卖出两次
用 buy1、sale1、buy2、sale2 四个变量表示上述 1~4 状态操作后的最大利润，下面进行状态转移，一直不买这个状态不用考虑：
state1：buy1 = max( buy1, -prices[i] )，前一天是buy1状态，或者今天买入一只股票state2：sale1 = max( sale1, buy1 + prices[i] )，前一天是sale2状态，或者今天卖出一只股票state3：buy2 = max( buy2, sale1 - prices[i] )，前一天是buy2状态，或者今天买入一只股票state4：sale2 = max( sale2, buy2 + price[i])，前一天是sale2状态，或者今天卖出一只股票
时间复杂度：$O(n)$
额外空间复杂度：$O(1)$
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int buy1 = -prices[0], sale1 = 0;
int buy2 = -prices[0], sale2 = 0;
for ( int i = 1; i < prices.size(); ++i ) {
sale2 = max( sale2, buy2 + prices[i] );
buy2 = max( buy2, sale1 - prices[i] );
sale1 = max( sale1, buy1 + prices[i] );
buy1 = max( buy1, -prices[i] );
}
return max( sale1, sale2 );
}
};
/*
时间：136ms，击败：98.74%
内存：73.4MB，击败：97.47%
*/
