题目描述

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式
第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式
输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围
N≤10

样例

输入样例：
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例：
67

算法1

线性DP

本题是摘花生的变式，可以用两遍DP来做，也可以增加状态函数的维度同时进行，
本题解是同时走两路。
因为是同时走，所以步数和是相同的，即横纵坐标之和相同。可以把原本f[x1][y1][x2][y2]优化为f[k][x1][y1]来写
状态转移方程从四个方面讨论，即第一个从上还是左，第二个从上还是左

时间复杂度

$O(n^3)$

参考文献

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 11;

int w[N][N];
int f[N + N][N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;

    int x, y, c;
    while(scanf("%d %d %d", &x, &y, &c), x || y || c)
        w[x][y] = c;

    for(int k = 2; k <= n + n; k++)
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if(j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n)
                {
                    int t = w[i1][j1];
                    if(i1 != i2) t += w[i2][j2];
                    int &q = f[k][i1][i2];
                    q = max(f[k-1][i1-1][i2-1] + t, q);
                    q = max(f[k-1][i1-1][i2] + t, q);
                    q = max(f[k-1][i1][i2] + t, q);
                    q = max(f[k-1][i1][i2-1] + t, q);
                }
            }

    cout << f[n+n][n][n] << endl;
    return 0;
}