AcWing AC104 货舱选址

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每日一题D1

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相似题目:https://www.acwing.com/problem/content/3130/

题面描述

在一条数轴上有 $N$ 家商店，它们的坐标分别为 $A_1$~$A_N$。

现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。

为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

输入格式

第一行输入整数N。

第二行N个整数$A_1$~$A_N$。

输出格式

输出一个整数，表示距离之和的最小值。

数据范围

$1 \le N \le 100000$,
$0 \le A_i \le 40000$

输入样例：

4
6 2 9 1

输出样例：

12

AC Code

// 在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1~AN。
// 现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。
// 为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(int argc, char const *argv[])
{
    int n;
    int arr[1001];
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> arr[i];
    }
    sort(a, a + n);
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res += abs(a[i] - a[n / 2]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

思路

1. 在数轴上先sort
2. 奇数个点，那么就是在所有数据的中位值

3. 偶数个点，那么一定在最中间两个点之间

4. 根据绝对值不等式$|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$

5. $(|a_1-x|+|a_n-x|)+(|a_2-x|+|a_{n-1}-x|)+\cdots$
6. $\text{上式}\ge |a_n-a_1|+|a_{n-1}-a_2|$
7. 等号成立的最优解是取中位数