题目描述

有 n 个盒子。给你一个长度为 n 的二进制字符串 boxes，其中 boxes[i] 的值为 '0' 表示第 i 个盒子是 空 的，而 boxes[i] 的值为 '1' 表示盒子里有 一个 小球。

在一步操作中，你可以将 一个 小球从某个盒子移动到一个与之相邻的盒子中。第 i 个盒子和第 j 个盒子相邻需满足 abs(i - j) == 1。注意，操作执行后，某些盒子中可能会存在不止一个小球。

返回一个长度为 n 的数组 answer，其中 answer[i] 是将所有小球移动到第 i 个盒子所需的 最小 操作数。

每个 answer[i] 都需要根据盒子的 初始状态 进行计算。

样例

输入：boxes = "110"
输出：[1,1,3]
解释：每个盒子对应的最小操作数如下：
1) 第 1 个盒子：将一个小球从第 2 个盒子移动到第 1 个盒子，需要 1 步操作。
2) 第 2 个盒子：将一个小球从第 1 个盒子移动到第 2 个盒子，需要 1 步操作。
3) 第 3 个盒子：将一个小球从第 1 个盒子移动到第 3 个盒子，需要 2 步操作。
    将一个小球从第 2 个盒子移动到第 3 个盒子，需要 1 步操作。共计 3 步操作。

输入：boxes = "001011"
输出：[11,8,5,4,3,4]

限制

• n == boxes.length
• 1 <= n <= 2000
• boxes[i] 为 ‘0’ 或 ‘1’。

算法1

(暴力) $O(n^2)$

1. 按照题目描述逐一计算每个位置的值。

时间复杂度

• 每个位置需要 $O(n)$ 的时间计算，故总时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

• 需要 $O(n)$ 的额外空间存储答案。

C++ 代码

class Solution {
private:
    int solve(const string &b, int n, int p) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (b[i] == '1')
                res += abs(i - p);

        return res;
    }

public:
    vector<int> minOperations(string boxes) {
        const int n = boxes.size();
        vector<int> ans(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            ans[i] = solve(boxes, n, i);

        return ans;
    }
};

算法2

(动态维护) $O(n)$

1. 动态维护当前位置与上个位置值的差距。
2. 首先计算第一个位置的值，当做后缀值 suf，以及后缀中拥有 1 的总个数 suf_c，初始化前缀值 pre 以及前缀总个数 pre_c。
3. 当前位置的答案就是前缀值与后缀值之和。然后维护前缀与后缀的变化：
   • 如果当前位置为 1，则前缀个数加 1，后缀个数减 1。
   • 每一次移动，都需要后缀减少后缀所有的 1 带来的值，前缀增加前缀所有的 1 带来的值。

时间复杂度

• 暴力计算出第一个位置的值，之后每个位置的值依赖于上一个位置计算的结果，每个位置均摊只需要常数的时间计算每个位置的值。
• 总时间复杂度为 $O(n)$。

空间复杂度

• 需要 $O(n)$ 的额外空间存储答案。

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<int> minOperations(string boxes) {
        const int n = boxes.size();
        vector<int> ans(n);

        int suf = 0, suf_c = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (boxes[i] == '1') {
                suf += i;
                suf_c++;
            }

        int pre = 0, pre_c = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans[i] = pre + suf;

            if (boxes[i] == '1') {
                pre_c++;
                suf_c--;
            }
            suf -= suf_c;
            pre += pre_c;
        }

        return ans;
    }
};