题目描述

给你两个字符串 word1 和 word2，请你按下述方法构造一个字符串：

• 从 word1 中选出某个 非空 子序列 subsequence1。
• 从 word2 中选出某个 非空 子序列 subsequence2。
• 连接两个子序列 subsequence1 + subsequence2，得到字符串。

返回可按上述方法构造的最长 回文串 的 长度。如果无法构造回文串，返回 0。

字符串 s 的一个 子序列 是通过从 s 中删除一些（也可能不删除）字符而不更改其余字符的顺序生成的字符串。

回文串 是正着读和反着读结果一致的字符串。

样例

输入：word1 = "cacb", word2 = "cbba"
输出：5
解释：从 word1 中选出 "ab"，从 word2 中选出 "cba"，得到回文串 "abcba"。

输入：word1 = "ab", word2 = "ab"
输出：3
解释：从 word1 中选出 "ab"，从 word2 中选出 "a"，得到回文串 "aba"。

输入：word1 = "aa", word2 = "bb"
输出：0
解释：无法按题面所述方法构造回文串，所以返回 0。

限制

• 1 <= word1.length, word2.length <= 1000
• word1 和 word2 由小写英文字母组成。

算法

(区间动态规划) $O((n + m)^2)$

1. 将两个字符串进行拼接，求拼接后字符串的最长回文子序列，但要保证答案对应原字符串中的子序列都非空。
2. 设状态 $f(i, j)$ 表示拼接后字符串的区间 [i, j] 的最长回文子序列，且满足两个子序列都非空。状态 $g(i, j)$ 表示拼接后字符串的区间 [i, j] 的最长回文子序列，但有一个子序列为空。
3. 初始时，$f(i, i) = -\infty, g(i, i) = 1$。考虑边界，$f(i + 1, i) = -\infty, g(i + 1, i) = 0$。其余状态待定。
4. 转移时：
   • 如果 $a(i) == a(j)$
     • 区间跨越了两个字符串，则可以保留 $a(i)$ 和 $a(j)$，可以从 $f(i + 1, j - 1) + 2$ 或者 $g(i + 1, j - 1) + 2$ 进行转移到 $f(i, j)$。
     • 区间没有跨越两个字符串，则也可以保留 $a(i)$ 和 $a(j)$，只能从 $g(i + 1, j - 1) + 2$ 转移到 $g(i, j)$。
   • 任何情况下，都可以从 $f(i + 1, j)$ 或者 $f(i, j - 1)$ 转移到 $f(i, j)$。从 $g(i + 1, j)$ 或者 $g(i, j - 1)$ 转移到 $g(i, j)$。这表示忽视 $a(i)$ 或者 $a(j)$，区间跨越性不变。
5. 最终答案为 $f(0, n - 1)$。如果答案为负无穷，则返回 0。

时间复杂度

• 状态数为 $O((n + m)^2)$，转移时间为常数，故总时间复杂度为 $O((n + m)^2)$。

空间复杂度

• 需要 $O((n + m)^2)$ 的额外空间存储状态。

C++ 代码

#define N 2010

class Solution {
private:
    int f[N][N], g[N][N];

public:
    int longestPalindrome(string word1, string word2) {
        const int n = word1.size() + word2.size();
        string a = word1 + word2;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            f[i][i] = INT_MIN;
            g[i][i] = 1;
            if (i < n - 1) {
                f[i + 1][i] = INT_MIN;
                g[i + 1][i] = 0;
            }
        }

        for (int len = 2; len <= n; len++)
            for (int i = 0; i < n - len + 1; i++) {
                int j = i + len - 1;
                f[i][j] = g[i][j] = INT_MIN;

                if (a[i] == a[j]) {
                    if (i < word1.size() && j >= word1.size())
                        f[i][j] = max(f[i][j],
                                    max(f[i + 1][j - 1], g[i + 1][j - 1]) + 2);
                    else
                        g[i][j] = max(g[i][j], g[i + 1][j - 1] + 2);
                }

                f[i][j] = max(f[i][j], max(f[i + 1][j], f[i][j - 1]));
                g[i][j] = max(g[i][j], max(g[i + 1][j], g[i][j - 1]));
            }

        if (f[0][n - 1] < 0)
            return 0;

        return f[0][n - 1];
    }
};