458. 比例简化

在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与否的民意调查以及结果。

例如，对某一观点表示支持的有1498人，反对的有902人，那么赞同与反对的比例可以简单的记为1498:902。

不过，如果把调查结果就以这种方式呈现出来，大多数人肯定不会满意。

因为这个比例的数值太大，难以一眼看出它们的关系。

对于上面这个例子，如果把比例记为5:3，虽然与真实结果有一定的误差，但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得比较直观。

现给出支持人数A，反对人数B，以及一个上限L，请你将A:B化简为A′:B′，要求在A′和B′均不大于L且A′和B′互质（两个整数的最大公约数是1）的前提下，$\frac{A’}{B’}$ ≥ $\frac{A}{B}$且$\frac{A’}{B’}$ - $\frac{A}{B}$的值尽可能小。

输入格式
输入共一行，包含三个整数A，B，L，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示支持人数、反对人数以及上限。

输出格式
输出共一行，包含两个整数A′，B′，中间用一个空格隔开，表示化简后的比例。

数据范围
$1≤A,B≤106,$
$1≤L≤100,A/B≤L$
输入样例：

1498 902 10

输出样例：

5 3

思路：

题目已经给出了$1≤L≤100$，且要求A′和B′均不大于L。因此可以枚举 A′,B′的所有组合，然后判断：

• A′,B′是否互质；
• $\frac{A’}{B’}$是否大于等于 $\frac{A}{B}$，并且最小

事实上，上述算法可以省去对于 A′,B′ 是否互质的判断：

可以举个简单的例子，比如枚举到（10,4）的时候，那么之前我们肯定已经枚举过了(5,2)这种组合情况，因为10-4 > 5-2，所以我们会保留较小的那组（5,2），而最小的那组分子分母肯定是互质的。

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int A = sc.nextInt();
        int B = sc.nextInt();
        int L = sc.nextInt();
        int a = 0,b = 1;//保留结果A',B'
        double delta = Double.MAX_VALUE;
        for(int i = 0;i <= L;i++){//i代表A' 
            for(int j = 1;j <= L;j++){// //j代表B',而分母不能为0，故从1开始
                double x = (double)i / j;//按题意需要变为实数除法
                double X = (double)A / B;
                if(x >= X && x - X < delta){
                    a = i;
                    b = j;
                    delta = x - X;
                }
            }
        }
        System.out.println(a+ " " + b);
    }
}