题目描述

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

样例

<!--输入-->
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
<!--输出-->
8

算法1

普通的dp $O(nm)$

状态转移方程：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]+w[i]);

时间复杂度 O(nm)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N], f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= m; j++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j - v[i] >= 0)   f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }

    cout << f[n][m];

    return 0;
}

算法2

一维数组优化版 $O(nm)$

将原来的dp数组从二维转化为一维，减少空间时间消耗

时间复杂度 O(nm)

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N], f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}