题目描述

定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，输出impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式
第一行包含三个整数n，m，k。

接下来m行，每行包含三个整数x，y，z，表示点x和点y之间存在一条有向边，边长为z。

输出格式
输出一个整数，表示从1号点到n号点的最多经过k条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出“impossible”。

数据范围
1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
任意边长的绝对值不超过10000。

样例

输入样例：
3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3
输出样例：
3

算法1

(bellman_ford) $O(n*m)$

步骤：
1.初始化时将起点s到各个顶点v的距离dist(s->v)赋值为INF，dist(s->s)赋值为0
2.后续进行最多n-1次遍历操作,对所有的边进行松弛操作,假设:
所谓的松弛，以边ab为例，若dist(a)代表起点s到达a点所需要花费的总数，dist(b)代表起点s到达b点所需要花费的总数,weight(ab)代表边ab的权重，
若存在:三角不等式：
(dist(a) +weight(ab)) < dist(b)则说明存在到b的更短的路径,s->…->a->b,更新b点的总花费为(dist(a) +weight(ab))，父节点为a

3.遍历都结束后，若再进行一次遍历，还能得到s到某些节点更短的路径的话，则说明存在负环路

详解看 这个

时间复杂度分析：两重循环时间复杂度为O（m*n）

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510,M=10010;
int dist[N],backup[N];
int n,m,k;

struct Edge{
    int a,b,w;
}edges[M];

int bellman_ford(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        memcpy(backup,dist,sizeof dist);
        for(int j=0;j<m;j++){
            int a=edges[j].a,b=edges[j].b,w=edges[j].w;
            dist[b]=min(dist[b],backup[a]+w);
        }

    }
    if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2)return -1;
    return dist[n];
}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;
        edges[i]={a,b,w};
    }
    int t=bellman_ford();
    if(t==-1)puts("impossible");
   else cout<<t<<endl;
   return 0;
}