题目描述

01背包问题（每个物品只能用一次）

选法共有2^n次

优化方法：DP(在不改变原来代码的基础上进行空间优化,等价变形)

选法：
（1）所有不选第i个物品的方案，各种选法的总价值为f[i-1][j]
（2）所有选择第i个物品的方案，分为其他物品随便选加上物品i的方案，随便选的方案价值为f[i-1][j-v[i]]，就规定了j一定大于等于v[i]物品i的价值为w[i]，
所以总价值最大要在以上两种方案中选最大的，即max(f[i-1][j],f[i-1][j-vi)

算法1

二维数组f[i][j]表示前i个物品，总体积不超过j，表示的是选法的集合，代表集合当值每一种方案的 总价值

f[N][V]就表示N个物品中，总体积不超过V的总价值最大的方案的集合，因为该集合每个数的值就代表价值，所以在既定的物品数量中，总体积最大的方案的总价值就最大。

所以f[V][N]就是答案

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)  //体积由0开始
        {
            //递归求选法
            f[i][j]=f[i-1][j];  //选到第i个物品前，即不选第i个物品
            if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); 
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=m;i++) res=max(res,f[n][i]);//循环求到最大的
    //但实际上f[n][m]就是最大的
    //cout<<f[n][m]<<endl;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

算法2

一维数组f[j] 滚动数组

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--) //从大到小，确保j-v[i]没有重复计算过
        {

            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);  
        }
    }

    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}