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题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

示例 1:

输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:

输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

题解：

动态规划。

设 f[i] 表示以 nums[i] 结尾， nums[0...i] 中最大子数组乘积，转移方程：f[i] = max{f[i - 1] * nums[i], nums[i]}

如果这题是 最大连续子数组和 问题，这个方程没问题，但是这题是 乘积 ，乘积意味着可以 负负得正 ，可能得到更大的结果。

假设 nums = {5, 6, -3, 4, -3} ，按上述转移得到的 f = {5, 30, -3, 4, -3} ，最大结果为 30 ，而实际结果为所有元素的乘积，出现这种情况就是因为我们少考虑了 负数 的情况。

所以，我们需要维护一个 fmin[i] ，表示以 nums[i] 结尾，nums[0...i] 中最小子数组乘积，设前面的 f[i] 重新记为 fmax[i] ，那么转移方程为：

• fmax[i] = max{ fmax[i - 1] * nums[i], fmin[i - 1] * nums[i], nums[i] }
• fmin[i] = min{ fmax[i - 1] * nums[i], fmin[i - 1] * nums[i], nums[i] }

时间复杂度：$O(n)$

额外空间复杂度：$O(n)$

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if ( !n ) return 0;
        int ret = nums[0];
        vector<int> fmin(n), fmax(n);
        fmin[0] = fmax[0] = nums[0];
        for ( int i = 1; i < n; ++i ) {
            fmax[i] = max( {fmax[i - 1] * nums[i], fmin[i - 1] * nums[i], nums[i]} );
            fmin[i] = min( {fmax[i - 1] * nums[i], fmin[i - 1] * nums[i], nums[i]} );
            ret = max( ret, fmax[i] );
        }
        return ret;
    }
};
/*
时间：4ms，击败：92.26%
内存：11.7MB，击败：58.58%
*/

可以发现，f 只跟 f[i - 1] 有关，使用滚动数组优化：

class Solution {
public:
    int maxProduct(vector<int>& nums) {
        if ( !nums.size() ) return 0;
        int ret = nums[0];
        int fmax = nums[0], fmin = nums[0];
        for ( int i = 1, pre; i < nums.size(); ++i ) {
            pre = fmax;
            fmax = max( {pre * nums[i], fmin * nums[i], nums[i]} );
            fmin = min( {pre * nums[i], fmin * nums[i], nums[i]} );
            ret = max( {ret, fmax} );
        }
        return ret;
    }
};
/*
时间：4ms，击败：92.26%
内存：11.3MB，击败：98.81%
*/