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剑指 Offer 14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：
2 <= n <= 58
注意：本题与主站 343 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/

解题思路

网上对这道题使用的基本都是贪心算法。感觉那个数学证明还是比较复杂，难想到的。

所以这里使用更好理解一点的动态规划算法。

状态表示：dp[ i ]存储绳子长度为i时的最大乘积。那么dp[n]即绳子长度为n时的最大乘积。

集合划分： 依题意，绳子至少被剪一次，所以绳子长度最小为2。由于已知至少剪一刀，我们索性假设第一刀剪在长度为j的位置(即第一段绳子长度为j)。剩下的那段长度为( i - j )的绳子就变成了“可剪可不剪”。那究竟是“不剪了”得到的乘积大呢，还是“继续剪余下的这段”得到乘积更大？我们不知道，所以需要两种情况都计算一下进行比较。其中，“不剪了”得到的乘积是j * ( i - j )，“继续剪”得到的乘积是j * dp[ i - j ]。取其中的较大值，就是“第一剪在j位置”能得到的最大乘积。而第一剪的所有可能位置是1,2,…,i-1。依次计算所有可能情况，取最大值即为dp[ i ]的值。

状态计算：
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])) ; j取1,2...i-1

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];

        //绳子长度从2 ~ n
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= i - 1;j++){//第一刀可以剪在1 ~ i - 1处
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * (i - j),j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

参考SH2OCN题解：https://www.acwing.com/solution/content/2537/