题目描述

推导

题目中给出的公式 $$T(n)=(F_1+2F_2+3F_3+…+nF_n) ······ \ ①$$ $$ F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) ······ \ ② $$

我们可以令$$ X_n = nF_n ······ \ ③$$
则$$ T(n) = \sum_{i = 1}^n X_i $$

根据③我们可以写出

$$ X_{n + 1} = (n + 1)F_{n + 1} $$ $$ X_{n + 2} = (n + 2)F_{n + 2} $$

由②

$$ X_{n + 2} = (n + 2)(F_n + F_{n + 1}) $$

即
$$ X_{n + 2} = 2F_n + F_{n + 1} + X_n + X_{n + 1} $$

在求出$ X_n 、 F_n 、 T_n $ 之间的关系后, 我们就可以构造出一个行向量
$$ G_i = \begin{pmatrix} F_i & F_{i + 1} & X_i & X_{i + 1} & T_i \end{pmatrix} $$
那么对于下一个向量

$$ G_{i + 1} = \begin{pmatrix} F_{i + 1} & F_{i + 2} & X_{i + 1} & X_{i + 2} & T_{ i + 1} \end{pmatrix} $$

根据以上推导我们就可以写出一个方阵 $ a $，使得
$$ G_i * a = G_{i + 1} $$

$$ a = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ \end{pmatrix} $$

推导结束，剩下的用矩阵乘法和快速幂就可以了。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 5;

int n, m;

void mul(int c[], int a[], int b[][N])
{
    int res[N] = {0};
    for(int i = 0; i < N; i ++)
        for(int j = 0; j < N; j ++)
            res[i] = (res[i] + (ll)a[j] * b[j][i]) % m;

    memcpy(c, res, sizeof res);
} 

void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N])
{
    int res[N][N] = {0};
    for(int i = 0; i < N; i ++)
        for(int j = 0; j < N; j ++)
            for(int k = 0; k < N; k ++)
                res[i][j] = (res[i][j] + (ll)a[i][k] * b[k][j]) % m;

    memcpy(c, res, sizeof res);
}

void ksm(int res[], int a[][N], int n)
{
    while(n)
    {
        if(n & 1) mul(res, res, a); // res = res * a

        mul(a, a, a); // a = a * a;
        n >>= 1;
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    // [f(n), f(n + 1), x(n), x(n + 1), t(n)]
    int F[N] = {1, 1, 1, 2, 1};
    int a[N][N] = {
        {0, 1, 0, 2, 0},
        {1, 1, 0, 1, 0},
        {0, 0, 0, 1, 0},
        {0, 0, 1, 1, 1},
        {0, 0, 0, 0, 1}
    };

    ksm(F, a, n - 1);

    cout << F[4] << endl;

    return 0;
}