题目描述

将一个骰子投掷 n 次，获得的总点数为 s，s 的可能范围为 n∼6n。

掷出某一点数，可能有多种掷法，例如投掷 2 次，掷出 3 点，共有 [1,2],[2,1] 两种掷法。

请求出投掷 n 次，掷出 n∼6n 点分别有多少种掷法。

样例 1

输入：n=1

输出：[1, 1, 1, 1, 1, 1]

解释：投掷1次，可能出现的点数为1-6，共计6种。每种点数都只有1种掷法。所以输出[1, 1, 1, 1, 1, 1]。

样例 2

输入：n=2

输出：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]

解释：投掷2次，可能出现的点数为2-12，共计11种。每种点数可能掷法数目分别为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1。

      所以输出[1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1]。

算法

(动态规划) $O(n^2)$

状态表示：f[i][j]，表示投 $i$ 次总和为 $j$ 的方案数
状态计算：按照第 $i$ 次投掷的点数为 $1，2，3，4，5，6$ 划分成六个集合
假设第 $i$ 次投掷的点数为 $k$，则状态转移方程为 $f[i][j] = f[i - 1][j - k]$，对于每种情况计算方案数，最后求和。

边界：

1. 初始值：$f[0][0] = 1$，由 $f[1][1] = 1$ 可以推出
2. 答案：$f[n][n]、f[n][2n]、…、f[n][6n]$

时间复杂度

状态数量有 $n^2$ 个，状态转移时间为 $O(1)$，所以时间复杂度为 $O(n^2)$
状态数量 * 状态转移所需时间 = $n^2 * O(1)$ = $O(n^2)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    vector<int> numberOfDice(int n) {
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(6 * n + 1));
        f[0][0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= i * 6; j ++ )
                for (int k = 1; k <= 6; k ++ )
                    if (k <= j)
                        f[i][j] += f[i - 1][j - k];

        vector<int> res;           
        for (int i = n; i <= 6 * n; i ++ ) res.push_back(f[n][i]);
        return res;
    }
};