集合：

f[i][j]表示前i个整数（1,2…,i）恰好拼成j的方案数

状态计算：

求方案数：把集合选0个i，1个i，2个i，…全部加起来
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + ...f[i - 1][s * j];
f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + ...f[i - 1][s * j];
因此 f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i];(这一步类似完全背包的推导）

初值问题：
f[0] --> f[0][0] 表示总和是0，当一个都不选时，这就是一种方案，所以f[0] = 1, 也就是f[0][0] = 1
f[1] --> f[0][1] 表示总和是1，当一个都不选时，这不是一种方案，实际上没有方案可以使得成立，所以f[1] = 0,也就是f[0][1] = 0
f[2] 同f[1] f[0][2]
f[i] 同f[1] f[0][i] (i > 0)

所以循环也就从 i = 1开始

f[i][0] = 1;（i>=0）表示背包容量为0，所有物品都不选，这是一种方案

优化前（优化了公式，没有优化维数）

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        f[i][0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= n; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] % mod; // 特殊 f[0][0] = 1，一个i都不选
            if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod; //选s个i的选法
        }
    }

    cout << f[n][n] << endl;
}

优化后（维数优化）

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;
int n;
int f[N];

int main () {
    cin >> n;

    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        for (int j = i; j <= n; j ++) 
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;

    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}