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题目描述

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树 的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 1~ 2^h 个节点。

示例 1：

[HTML_REMOVED]

[HTML_REMOVED]

输入：root = [1,2,3,4,5,6]
输出：6

示例 2：

输入：root = []
输出：0

示例 3：

输入：root = [1]
输出：1

提示：

• 树中节点的数目范围是[0, 5 * 10^4]
• 0 <= Node.val <= 5 * 10^4
• 题目数据保证输入的树是 完全二叉树

进阶：遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

题解：

法一：

对整棵树进行遍历。

时间复杂度：$O(n)$

额外空间复杂度：$O(n)$

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if ( !root ) return 0;
        int l = countNodes( root->left );
        int r = countNodes( root->right );
        return l + r + 1;
    }
};
/*
时间：44ms，击败：57.63%
内存：30.1MB，击败：72.30%
*/

法二：

利用 完全二叉树 的特性：完全二叉树除了最后一层，其余层都是满二叉树，并且最后一层向左靠齐。

• 如果根节点左子树和右子树高度相等，说明左子树为满二叉树
• 如果根节点左子树高度大于右子树的高度，说明右子树为满二叉树

知道一边的子树为满二叉树，可以直接根据高度获得节点数目 (1 << dep) - 1 。然后递归处理另一边的子树。

时间复杂度：$O(logn*logn)$

额外空间复杂度：$O(logn)$

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int depth(TreeNode* root) {
        int dep = 0;
        while ( root ) {
            ++dep;
            root = root->left;
        }
        return dep;
    }
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if ( !root ) return 0;
        int l = depth( root->left );
        int r = depth( root->right );
        if ( l == r ) return countNodes(root->right) + (1 << l);
        else return countNodes(root->left) + (1 << r);
    }
};
/*
时间：40ms，击败：72.89%
内存：30MB，击败：91.75%
*/

里面计算深度有重复计算过程，使用记忆化搜索优化：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
    unordered_map<TreeNode*, int> hash;
public:
    int depth(TreeNode* root) {
        if ( hash.find(root) != hash.end() )
            return hash[root];
        auto t = root;
        int dep = 0;
        while ( t ) {
            ++dep;
            t = t->left;
        }
        return hash[root] = dep;
    }
    int countNodes(TreeNode* root) {
        if ( !root ) return 0;
        int l = depth( root->left );
        int r = depth( root->right );
        if ( l == r ) return countNodes(root->right) + (1 << l);
        else return countNodes(root->left) + (1 << r);
    }
};
/*
时间：36ms，击败：85.75%
内存：30.2MB，击败：52.43%
*/