题目描述
一个 N x N
的网格代表了一块樱桃地,每个格子由以下三种数字的一种来表示:
- 0 表示这个格子是空的,所以你可以穿过它。
- 1 表示这个格子里装着一个樱桃,你可以摘到樱桃然后穿过它。
- -1 表示这个格子里有荆棘,挡着你的路。
你的任务是在遵守下列规则的情况下,尽可能的摘到最多樱桃:
- 从位置 (0, 0) 出发,最后到达 (N-1, N-1) ,只能向下或向右走,并且只能穿越有效的格子(即只可以穿过值为 0 或者 1 的格子);
- 当到达 (N-1, N-1) 后,你要继续走,直到返回到 (0, 0) ,只能向上或向左走,并且只能穿越有效的格子;
- 当你经过一个格子且这个格子包含一个樱桃时,你将摘到樱桃并且这个格子会变成空的(值变为 0);
- 如果在 (0, 0) 和 (N-1, N-1) 之间不存在一条可经过的路径,则没有任何一个樱桃能被摘到。
样例
输入: grid =
[[0, 1, -1],
[1, 0, -1],
[1, 1, 1]]
输出: 5
解释:
玩家从(0,0)点出发,经过了向下走,向下走,向右走,向右走,到达了点(2, 2)。
在这趟单程中,总共摘到了4颗樱桃,矩阵变成了[[0,1,-1],[0,0,-1],[0,0,0]]。
接着,这名玩家向左走,向上走,向上走,向左走,返回了起始点,又摘到了 1 颗樱桃。
在旅程中,总共摘到了5颗樱桃,这是可以摘到的最大值了。
提示
grid
是一个N
乘N
的二维数组,N
的取值范围是1 <= N <= 50
。- 每一个
grid[i][j]
都是集合{-1, 0, 1}
其中的一个数。 - 可以保证起点
grid[0][0]
和终点grid[N-1][N-1]
的值都不会是-1
。
算法
(动态规划) $O(n^3)$
- 我们可以把来回两趟看成一次从左上角到右下角的两条路线。
- 设 $f(s, x1, x2)$ 表示从
(0, 0)
走了 $s$ 步,其中第一条路线的在第 $x1$ 行,第二条路线在 $x2$ 行的最大采摘数。 - 初始时,数组赋值为负无穷,但 $f(0, 0, 0) = grid[0][0]$。
- 转移时,如果计算出当前位置是否合法,然后计算出这两个位置一共可以获得的樱桃数。然后一共有四种转移。
- 最终答案为 $\max(0, f(2n - 1, n - 1, n - 1))$,即最后如果存在路径,则必定两条路线的横坐标在最后一行。
时间复杂度
- 状态数为 $O(n^3)$ 个,每次转移仅需常数的时间,故总时间复杂度为 $O(n^3)$。
空间复杂度
- 动态规划数组需要 $O(n^3)$ 的空间,故空间复杂度为 $O(n^3)$。
C++ 代码
class Solution {
public:
int cherryPickup(vector<vector<int>>& grid) {
int n = grid.size();
vector<vector<vector<int>>> f(2 * n - 1,
vector<vector<int>>(n, vector<int>(n, INT_MIN)));
f[0][0][0] = grid[0][0];
for (int s = 1; s < 2 * n - 1; s++)
for (int x1 = 0; x1 < n; x1++)
for (int x2 = 0; x2 < n; x2++) {
int y1 = s - x1;
int y2 = s - x2;
if (y1 < 0 || y1 >= n || y2 < 0 || y2 >= n)
continue;
if (grid[x1][y1] == -1 || grid[x2][y2] == -1)
continue;
int t = grid[x1][y1] + grid[x2][y2];
if (x1 == x2 && t > 0)
t--;
f[s][x1][x2] = f[s - 1][x1][x2] + t;
if (x1 > 0)
f[s][x1][x2] = max(f[s][x1][x2], f[s - 1][x1 - 1][x2] + t);
if (x2 > 0)
f[s][x1][x2] = max(f[s][x1][x2], f[s - 1][x1][x2 - 1] + t);
if (x1 > 0 && x2 > 0)
f[s][x1][x2] = max(f[s][x1][x2], f[s - 1][x1 - 1][x2 - 1] + t);
}
return max(0, f[2 * n - 2][n - 1][n - 1]);
}
};
为什么初始时,数组赋值为负无穷?
防止非法状态被转移
最后答案不用枚举吧, 因为两次都是从左上到右下, 最终x1, x2 很顶会落在n - 1行.
没错,代码已更新~