题目描述

给你一个正整数 primeFactors。你需要构造一个正整数 n，它满足以下条件：

• n 质因数（质因数需要考虑重复的情况）的数目 不超过 primeFactors 个。
• n 好因子的数目最大化。如果 n 的一个因子可以被 n 的每一个质因数整除，我们称这个因子是 好因子。比方说，如果 n = 12，那么它的质因数为 [2,2,3]，那么 6 和 12 是好因子，但 3 和 4不是。

请你返回 n 的好因子的数目。由于答案可能会很大，请返回答案对 10^9 + 7 取余 的结果。

请注意，一个质数的定义是大于 1，且不能被分解为两个小于该数的自然数相乘。一个数 n 的质因子是将 n 分解为若干个质因子，且它们的乘积为 n。

样例

输入：primeFactors = 5
输出：6
解释：200 是一个可行的 n。
它有 5 个质因子：[2,2,2,5,5]，且有 6 个好因子：[10,20,40,50,100,200]。
不存在别的 n 有至多 5 个质因子，且同时有更多的好因子。

输入：primeFactors = 8
输出：18

限制

• 1 <= primeFactors <= 10^9

算法

(数学，贪心) $O(\log n)$

1. 假设 $n = p_1^{k_1}p_2^{k_2} \dots p_m^{k_m}$，则根据乘法原理，$n$ 的好因子个数为 $k_1k_2 \dots k_m$。
2. 现在已知 $k_1 + k_2 + \dots + k_m = primeFactors$，求最大的 $k_1k_2 \dots k_m$。
3. 根据贪心的结果，将数字尽可能的分成 $3$ 可以使结果最大。如果 $n = 3t + 1$，则分为 $t - 1$ 个 $3$ 外加两个 $2$；如果 $n = 3t + 2$，则分为 $t$ 个 3 外加一个 $2$；否则分为 $t$ 个 3。
4. 使用快速幂计算最终答案。

时间复杂度

• 快速幂计算的时间复杂度为 $O(\log n)$。

空间复杂度

• 仅需要常数的额外空间。

C++ 代码

#define LL long long

class Solution {
private:
    LL power(LL x, LL y, LL mod) {
        LL res = 1, p = x;
        for (; y; y >>= 1) {
            if (y & 1) res = res * p % mod;
            p = p * p % mod;
        }
        return res;
    }

public:
    int maxNiceDivisors(int primeFactors) {
        if (primeFactors == 1)
            return 1;

        const int mod = 1000000007;
        int m = primeFactors / 3;

        if (primeFactors % 3 == 1)
            return power(3, m - 1, mod) * 4 % mod;

        if (primeFactors % 3 == 2)
            return power(3, m, mod) * 2 % mod;

        return power(3, m, mod) % mod;
    }
};