题目描述

一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。

商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度N。

后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围
1≤N≤100

样例

输入样例：
5
1  4  6  8  10 
2  5  7  15 17 
6  8  9  18 20 
10 11 12 19 21 
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释:
样例中，最小值为109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

思路

(动态规划) $O(n^2)$

由题可知，状态可以用二维数组来表示
然后必须在2N - 1个单位时间走出去,意味着只能往下或者往右走

状态：f[i][j]表示从位置(1,1)走到位置(i, j)的所有路线的费用，
属性：题意是最小费用，所以在集合中取费用最小的那条路线，故取最小值 min

状态计算：
由上面可知，只能往下或者往右走，那么走到位置(i, j)的费用f[i][j]可以由
位置(i, j)的上面(i-1,j)或者左面(i, j-1)的最小值，再加上当前位置(i,j)的
费用得出。
所以 f[i][j] = min(f[i-1][j] + w[i][j], f[i][j-1] + w[i]);

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 110;
int f[N][N];
int w[N][N];
int n;

int main()
{
    //输入
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        scanf("%d", &w[i][j]);
    //因为要求最小值，先把所有的方格都初始化为一个特别大的数0x3f3f3f3f
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            //因为从左上角(1,1)开始走，所以直接把费用w[1][1]赋值给f[1][1];
            if(i == 1 && j == 1)
                f[i][j] = w[i][j];
            else
            {
                //计算当前位置的最小费用
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j]+ w[i][j]) ;
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1]+ w[i][j]) ;
            }
        }

    printf("%d\n", f[n][n]);

    return 0;
}