基本思考框架

状态的划分依然是

但是对于第 [公式] 件物品来说，选择的情况有不选,选一件,…,选k件,…

状态转移方程为：

对于物品数量一层循环，体积一层循环，选几件还有一层循环，时间上是 的复杂度。可以选择如此的朴素的做法，但是不够优雅(狗头)。

但是针对该时间复杂度可以优化至

优化思路！

我们列举一下更新次序的内部关系：

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-2*v]+2*w , .....)

由上两式，可得出如下递推关系： 

                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样：

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{
    f[i][j] = f[i-1][j];
    if((j-v[i]>=0)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}

这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的核心代码

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
    {
        f[i][j] = f[i-1][j];
        if(j-v[i]>=0)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

两个代码其实只有一句不同（注意下标）

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包

f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

进一步优化

同样可以做空间上的优化，这里f[i][j] 除了用到 f[i-1][j] 的状态还用到了 f[i][j-v[i]]+w[i] 的状态，更新 f[i][j] 的时候需要先更新本行前的数据，故体积从小到达循环。

我们来看一组01背包问题和完全背包问题的空间优化代码处理对比

01背包问题问题

优化前

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
    {
        f[i][j] = f[i-1][j];
        if(j-v[i]>=0)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

优化后

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(int j=m;j>=v[i];j--)
    {
        f[j]=max(f[j-v[i]]+w[i],f[j]);
    }
}

完全背包问题

空间优化前

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }

空间优化后

for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }

经过时空二重优化后的代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//因为是j从小到大枚举，
            //所以我们在用到之前的j的时候(指j=j-v[i]时)f[j-v[i]]已经被更新过了，所以正好也是我们之前
            //想要的第i轮的f[i][j-v[i]]+w[i]
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}