题目描述

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si 行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤100
0<Si≤100
0<vij,wij≤100

样例

输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8

算法1

(暴力枚举) $O(n*m*k)$

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    vector<vector<int>> v(1, vector<int>(m, 0)), w(1, vector<int>(m, 0));
    vector<int> s(1, 0);

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        int si = 0;
        cin>>si;
        s.push_back(si);
        vector<int> vi(si + 1, 0), wi(si + 1, 0);

        for(int j = 1; j <= si; ++j){
            cin>>vi[j]>>wi[j];
        }
        v.push_back(vi);
        w.push_back(wi);
    }
    vector<vector<int>> f(n + 1,vector<int>(m + 1,0));

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 0; j <= m; ++j){
            for(int k = 0; k <= s[i]; ++k)   
            // j >= v[i][k] &&  条件不能写在for()这里，它一旦不满足，就会跳出循环，使得 k 个物品不能全部遍历
                if( j >= v[i][k] )
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

算法2

优化空间

时间复杂度

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    vector<vector<int>> v(1, vector<int>(m, 0)), w(1, vector<int>(m, 0));
    vector<int> s(1, 0);

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        int si = 0;
        cin>>si;
        s.push_back(si);
        vector<int> vi(si + 1, 0), wi(si + 1, 0);

        for(int j = 1; j <= si; ++j){
            cin>>vi[j]>>wi[j];
        }
        v.push_back(vi);
        w.push_back(wi);
    }
    vector<int> f(m + 1, 0);   //当计算i时用到上一层的j-v[i][k]的值，所以需要倒着遍历

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = m; j >= 0; --j){
            for(int k = 0; k <= s[i]; ++k)   
                if( j >= v[i][k] )
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}