算法

(Prim算法) $O(RClogRC)$

首先，根据木桶原理，木桶可以储水的最大值取决于周边最短的那一条木板。所以我们需要找的实际上是从最外层虚拟源点到矩阵中所有点的minimax path，即最大值最小的路径，只要知道这个最大值最小的权重，我们就可以减掉当前点的高度。假设我们可以放更多水，那这些水一定会沿着那条minimax path流失。而最小生成树的性质之一，就是最小生成树上每两个点之间的路径，一定满足最大值最小的性质。
所以这个题目等价于找一棵全图的最小生成树。需要外面加一个超级源点（虚拟源点），和矩阵四周所有点相连，这个点就是海平面对应的那个点。实际操作中，可以把所有边界上的点都放进堆里面。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>

using namespace std;

int dx[4]{0, 1, 0, -1}, dy[4]{1, 0, -1, 0};
int r, c, H[55][55];
bool st[55][55];

struct Node {
    int d, i, j;
    Node(int d, int i, int j) : d(d), i(i), j(j) {

    }  

    bool operator< (const Node& t) const {
        return d > t.d;
    }
};

inline bool valid(int x, int y) {
    return x >= 0 && x < r && y >= 0 && y < c;
}

int prim() {
    memset(st, 0, sizeof st);

    if (r == 1 || c == 1) return 0;
    int res = 0, curMax = 0;
    priority_queue<Node> pq;
    for (int i = 0; i < r; ++i) {
        pq.emplace(H[i][0], i, 0);
        st[i][0] = true;
        pq.emplace(H[i][c - 1], i, c - 1);
        st[i][c - 1] = true;
    }

    for (int i = 1; i < c - 1; ++i) {
        pq.emplace(H[0][i], 0, i);
        st[0][i] = true;
        pq.emplace(H[r - 1][i], r - 1, i);
        st[r - 1][i] = true;
    }
    while (!pq.empty()) {
        auto [d, x, y] = pq.top();
        pq.pop();
        curMax = max(d, curMax);
        res += curMax - d;
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
            if (valid(nx, ny) && !st[nx][ny]) {
                pq.emplace(H[nx][ny], nx, ny);
                st[nx][ny] = true;
            }
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    for (int t = 1; t <= T; ++t) {
        cin >> r >> c;
        for (int i = 0; i < r; ++i) {
            for (int j = 0; j < c; ++j) {
                cin >> H[i][j];
            }
        }
        cout << "Case #" << t << ": " << prim() << endl;
    }
    return 0;
}