题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图$G=(V,E)$
其中$V$表示图中点的集合，$E$表示图中边的集合，$n=|V|$ ，$m=|E|$ 。

由 $V $ 中的全部 $ n $个顶点和$ E $ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $ G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m 。

接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w ，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

$1≤n≤10^5$ ,
$1≤m≤2∗10^5$
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000 。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

Kruskal $O(mlogn)$ 用于稀疏图

Kruskal算法通过加边的方式来进行最小生成树的构造。
类似于bellman-Ford不需要存储图，只需要存储边。题目中根据数据范围可看出，点的数目和边的数目大致相等，即稀疏图，故而采用kruskal算法。

知识概要

模板

流程

//存储每一条边，并且根据边的权值从小到大排序sort(struct)
//遍历每一条边
for(m){
    如果a和b没有联通{ //通过并查集维护
        把a,b联通
        res+=c,cnt++; //cnt:多少点连通
    }
}
if(cnt!=n-1)说明没有最小生成树
else cout<<res;

模板

//初始化并查集数组
    init();

//输入每一条边
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        Ns[i]={a,b,c};
    }

//对边进行从小到大排序
    sort(Ns,Ns+m,cmp);

//遍历每一条边
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a=Ns[i].a,b=Ns[i].b,c=Ns[i].c;

        //判断a,b是否连通，如果不连通则将其连通，更新答案以及连通点数
        if(find(a)!=find(b)){
            res+=c;
            merge(a,b);
            cnt++;
        }
    }

    //通过连通点数判断是否是最小连通树
    if(cnt!=n-1) cout<<"impossible";
    else cout<<res<<endl;

题解

#include<bits/stdc++.h>


using namespace std;

const int N=1e5+10,M=2e5+10;

struct Node{
    int a,b,c;

}Ns[M];

int fa[M],n,m,res,cnt;

void init(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        fa[i]=i;
    }
}

int find(int x){

    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void merge(int a,int b){
    fa[find(a)]=find(b);
}

//从小到大排
bool cmp(Node x,Node y){
    return x.c<y.c;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    init();
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        Ns[i]={a,b,c};
    }

    sort(Ns,Ns+m,cmp);

    for(int i=0;i<m;i++){
        int a=Ns[i].a,b=Ns[i].b,c=Ns[i].c;

        if(find(a)!=find(b)){
            res+=c;
            merge(a,b);
            cnt++;
        }
    }

    if(cnt!=n-1) cout<<"impossible";
    else cout<<res<<endl;
    return 0;
}

⭐⭐
排序方法函数

//从小到大排
bool cmp(Node x,Node y){
    return x.c<y.c;
}