算法

(高精度,数学,数论,递推) $O(10k^3)$

引理1： 前 $k + 1$ 位的所有循环节长度，一定是 前 $k$ 位循环节长度的子集。

证明：

• 如果前 $k$ 位都不相同，那么前 $k + 1$ 位一定也不相同。

引理2： 假设最小循环节长度是 $t$，那么所有循环节长度一定都是 $t$ 的整数倍。

证明：

• 假设有循环节长度 $r$ 不是 $t$ 的倍数，那么令 $p = r \; mod \; t$ ，则 $p < t$，且对于任意正整数a，均有 $n^a \equiv n^{a + r} \equiv n^{a + r - t} \equiv n^{a + r - 2t} \equiv … \equiv n^{a + p} \; mod \; 10^k$，所以 $p$ 也是循环节，与 $t$ 是最小循环节矛盾。

因此我们可以从小到大一位一位递推出前 $k$ 位的循环节长度。

假设已经求出前 $k_0$ 位的循环节长度 $t_0$，那当我们求前 $k_0 + 1$ 位的循环节长度时，
只需枚举 $n \times n^{t_0}, n \times n^{2t_0}, n \times n^{3t_0}, …, n \times n^{10t_0}$ 是否和 $n$ 相同即可。

注意这里只需要枚举前10项，因为前 $k_0$ 位是固定不变的，只有第 $k_0 + 1$ 位会变化，因此最多只有10种不同选择。

时间复杂度

总共需要递推 $k$ 位，每次递推时最多需要枚举10项，每次枚举时会用到高精度乘法。

这里高精度乘法没有用FFT加速，因此时间复杂度是 $O(10k^3)$。

C++ 代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int m;
int nums[N], power[N];

void mul(int c[], int a[], int b[])
{
    static int temp[N];
    memset(temp, 0, sizeof temp);

    for (int i = 0; i < m; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            if (i + j < m)
                temp[i + j] += a[i] * b[j];
    for (int i = 0, t = 0; i < m; i ++ )
    {
        t += temp[i];
        temp[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }
    memcpy(c, temp, sizeof temp);
}

void mul(int c[], int a[], int b)
{
    for (int i = 0, t = 0; i < m; i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c[i] = t % 10;
        t /= 10;
    }
}

int main()
{
    string str;
    cin >> str >> m;
    for (int i = 0, j = str.size() - 1; j >= 0; j --, i ++ ) nums[i] = str[j] - '0';
    memcpy(power, nums, sizeof nums);

    int per[N] = {1};
    int p1[N], pn[N];   // p1 = 1 * p^(kt), pn = n * p^(kt)

    for (int k = 1; k <= m; k ++ )
    {
        memcpy(pn, nums, sizeof nums);
        memset(p1, 0, sizeof p1);
        p1[0] = 1;

        int r = 0;
        while (r <= 10)
        {
            mul(pn, pn, power);
            mul(p1, p1, power);
            r ++ ;
            if (pn[k - 1] == nums[k - 1]) break;
        }
        memcpy(power, p1, sizeof p1);

        if (r > 10)
        {
            memset(per, 0, sizeof per);
            per[0] = -1;
            break;
        }

        mul(per, per, r);
    }

    int k = m;
    while (!per[k]) k -- ;

    while (k >= 0) cout << per[k -- ];

    return 0;
}