题目描述

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

2.gif

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式
第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式
输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围
N≤10

样例

输入样例：
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例：
67

三维DP O(n^3)

状态表示

本题用两条路径起头并进的DP方式
状态表示很容易联想到花生的那道题 我们用f[i1][j1][i2][j2] 来表示第一条路径从 (1, 1) 到(i1, j1), 第二条路径从(1, 1) 到 (i2, j2) 的所有情况
而因为我们让两条路径同时走, 所以对于每一步(下或右)而言, i1 + j1 == i2 + j2
所以我们可以省去j1, j2, 得到: f[k][i1][j1] 因为只要用 k - i1 便可表示 j1, k - i2 表示 j2

状态计算

我们可以把这个集合划分成4种情况, 分别为第一条路径向右移动1, 同时第二条路径向右移动1 f[k -1][i1][i2]
第一条路径向下移动1, 同时第二条路径向右移动1 f[k - 1][i1 - 1][i2]
第一条路径向右移动1, 同时第二条路径向下移动1 f[k - 1][i1][i2 - 1]
第一条路径向下移动1, 同时第二条路径向下移动1 f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1]
再在每种状态的后面加上此时的w[i1][j1] 或 w[i1][j1] + w[i2][j2] (由是否走到了同一个方块来决定)
注: i 表示纵轴, j 表示横轴

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 15;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    int a, b, c;
    while (cin >> a >> b >> c, a || b || c) w[a][b] = c;

    for (int k = 2; k <= n * 2; k ++)
        for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
            for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++)
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n)
                {
                    int t = w[i1][j1];
                    if (i1 != i2)  t = w[i1][j1] + w[i2][j2];
                    int &x = f[k][i1][i2];
                    x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
                    x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
                    x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
                    x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
                }
            }
    cout << f[n + n][n][n];
    return 0;
}