题目描述

四平方和定理，又称为拉格朗日定理：

每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。

如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。

比如：

5=0^2+0^2+1^2+2^2
7=1^2+1^2+1^2+2^2
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。

要求你对 4 个数排序：

0≤a≤b≤c≤d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。

输入格式
输入一个正整数 N。

输出格式
输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。

样例(最毒瘤的数字)

输入：

4653056

输出：

128 384 896 1920
//985ms！！！

C++

(暴力枚举小优化) $O(n^(3/2))$

有些人的代码可能是这样的：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,j,k,l;
int main(){
    cin>>n;
    for(i=0;i*i<=n;i++)
        for(j=i;j*j<=n;j++)
            for(k=j;k*k<=n;k++){
                l=(int)(sqrt(n-i*i-j*j-k*k));
                if(i*i+j*j+k*k+l*l==n){
                    cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l;
                    return 0;
                }
            }
}

然后就被卡TLE了。

你可以发现：当第一个数为i时，j*j是必须要<=n-i*i。k*k是必须要<=n-i*i-j*j。

于是可以优化一下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,j,k,l;
int main(){
    cin>>n;
    for(i=0;i*i<=n;i++)
        for(j=i;j*j<=n   -i*i   ;j++)
            for(k=j;k*k<=n   -i*i-j*j   ;k++){
                l=(int)(sqrt(n-i*i-j*j-k*k));
                if(i*i+j*j+k*k+l*l==n){
                    cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l;
                    return 0;
                }
            }
}

然而还是TLE。

有没有想过，暴力第一个数时，因为i<=j<=k<=l，所以i<=n/4;j<=(n-i*i)/3;k<=(n-i*i-j*j)/2

故代码再次优化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,j,k,l;
int main(){
    cin>>n;
    for(i=0;i*i   *4   <=n;i++)
        for(j=i;j*j   *3   <=n-i*i;j++)
            for(k=j;k*k   *2   <=n-i*i-j*j;k++){
                l=(int)(sqrt(n-i*i-j*j-k*k));
                if(i*i+j*j+k*k+l*l==n){
                    cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l;
                    return 0;
                }
            }
}

然而又是TLE。

再仔细想想，程序运行算乘法会花很多时间，于是你可以定义好，a=i*i;b=j*j;c=k*k。

最终优化（代码变化大，就用不空格凸显了）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,j,k,l,a,b,c;
int main(){
    cin>>n;
    for(a=i*i;a*4<=n;++i,a=i*i)
        for(j=i,b=j*j;b*3<=n-a;++j,b=j*j)
            for(k=j,c=k*k;c*2<=n-a-b;++k,c=k*k){
                l=sqrt(n-a-b-c);
                if(a+b+c+l*l==n){
                    cout<<i<<' '<<j<<' '<<k<<' '<<l;
                    return 0;
                }
            }
}

刚好AC！！！(虽然可能会刚好被卡，多交几次就好)