二维差分

分析过程（建议画图辅助理解）：

• 设原矩阵为a，差分矩阵为b

1. 找核心操作

• 通过分析题目，将a[x1][y1]到a[x2][y2]表示的矩阵内的元素全部加上c，其核心操作为：
  1. b[x1][y1] += c;
  2. b[x2 + 1][y1] -= c;
  3. b[x1][y2 + 1] -= c;
  4. b[x2 + 1][y2 + 1] += c;

2. 求差分矩阵

• 同理，将上面的[x1][y1]到[x2][y2]全部加上c看做是[i][j]到[i][j]全部加上a[i][j]，则可求出b[i][j]：
  1. b[i][j] += a[i][j]
  2. b[i][j + 1] -= a[i][j];
  3. b[i + 1][j] -= a[i][j];
  4. b[i + 1][j + 1] += a[i][j];

3. 修改差分矩阵

• 求出差分矩阵b后应用第1步中的操作将其修改

4. 求前缀和得到答案，即矩阵a

• 求上一步修改过后的差分矩阵b的二维前缀和：
  a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];

总结

• 求解此问题第1步找核心操作，第二步求出差分矩阵，然后通过对差分矩阵进行操作来达到自己的目的。

C++代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int n, m, q;

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++) cin >> a[i][j];
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    while(q --)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j ++)
            cout << a[i][j] << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}